Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The present work aims to contribute to the teaching and learning process of disciplines such as Linear Algebra and Differential Equations, suggesting a study methodology based on mathematical modeling of mechanical systems and application of eigenvalues of problem, as well as encourage high school students to explore mathematics, a revealing and essential science, showing that content such as complex numbers, determinants, trigonometry, etc., some of these mistakenly questioned about its practical utility, can be used for the benefit of people, for example, providing more security and stability to buildings , essential in modern times. Initially, the contents will be displayed formally required for the understanding of vibrating systems with two degrees of freedom to apply them subsequently in the determination of natural frequencies of vibration of a two storey building. Also, a demo will be made of how to calculate the eigenvalues through of computational tools, the softwares MATLAB and R. Using the softwares, the determination of natural frequencies becomes even more practical and thus shows that the application of the problem is quite simple and has obvious practical use. / O presente trabalho visa contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de disciplinas como Álgebra Linear e Equações Diferenciais, sugerindo uma metodologia de ensino baseada na modelagem matemática de sistemas mecânicos e na aplicação do problema de autovalores, assim como, estimular alunos do ensino médio a explorar a matemática, uma ciência reveladora e essencial, mostrando que conteúdos como números complexos, determinantes, trigonometria, etc, alguns destes equivocadamente questionados quanto a utilidade prática, podem ser usados em benefício das pessoas, por exemplo, proporcionando mais segurança e estabilidade às edi cações, fundamentais nos tempos atuais. Inicialmente, serão apresentados formalmente os conteúdos necessários ao entendimento de sistemas vibratórios com dois graus de liberdade, para posteriormente aplicá-los na determinação das frequências naturais de vibração de um edi- fício de dois andares. Além disso, será feita uma demonstração de como calcular os autovalores através de ferramentas computacionais, os softwares MATLAB e R. Com o uso do software, a determinação das frequências naturais torna-se ainda mais prática e, portanto, mostrar que a aplicação do referido problema é bastante simples e tem utilidade prática evidente.

[ES] Las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales para modelizar y analizar sistemas dinámicos en Ingeniería. Las ecuaciones diferenciales permiten a los ingenieros describir cómo cambian en el tiempo y/o en el espacio las magnitudes físicas como, por ejemplo, la posición de un sistema vibratorio (como puede ser un muelle), la deflexión de un estructura mecánica (como puede ser una viga), etc. Por otra parte, muchos sistemas del mundo real están afectados por incertidumbres. Por ejemplo, los errores de medición, la comprensión incompleta de fenómenos físicos complejos, el ruido termal en los circuitos electrónicos o las variaciones en las propiedades de los materiales debido a su heterogeneidad son factores que involucran cierto nivel de aleatoriedad que debe tenerse en cuenta en la modelización. Esta modelización suele realizarse en muchos casos mediante ecuaciones diferenciales que, por tanto, contienen en su formulación magnitudes con incertidumbre, dando lugar a ecuaciones diferenciales aleatorias/estocásticas. Proporcionar métodos rigurosos para estudiar dichas ecuaciones es fundamental para desarrollar soluciones robustas y fiables de problemas de Ingeniería. Esta tesis presenta un análisis probabilístico de tres clases de problemas de Ingeniería Mecánica, como son los sistemas vibratorios (osciladores), las estructuras mecánicas (deflexión de vigas) y un problema mecánico modelado por una ecuación diferencial fraccionaria aleatoria. A lo largo del trabajo se han aplicado diferentes técnicas probabilísticas para lograr una comprensión más profunda del comportamiento de estos sistemas bajo excitaciones aleatorias. Además, en esta tesis nos hemos centrado en construir aproximaciones, no sólo de los momentos estadísticos principales (media, varianza, etc.), sino también la función de densidad de probabilidad de la respuesta (solución) de los distintos modelos estudiados. Proporcionar una descripción probabilística completa de este tipo de modelos mecánicos es un tema que ha atraído un notable interés tanto de matemáticos como de ingenieros durante las últimas décadas. En primer lugar, se estudian dos osciladores aleatorios no lineales en los que el término de restauración depende de la posición, en el primer caso, y de la posición y la velocidad, en el segundo. El término no lineal está afectado por un pequeño parámetro de perturbación. Como en ambos casos no podemos obtener la solución explícitamente, utilizaremos el método de perturbación estocástica para construir aproximaciones de la solución estocástica y sus primeros momentos estadísticos. Esto, en combinación con el principio de máxima entropía, nos permitirá obtener aproximaciones de la función de densidad de probabilidad estacionaria de la solución. En segundo lugar, se aborda el estudio de dos modelos estáticos aleatorios que describen la deflexión de una viga en voladizo. Se distinguen dos escenarios con respecto al tipo de procesos estocásticos que modelan la distribución de la carga que soporta la viga, y suponiendo que algunos parámetros del modelo, como el módulo de Young o el parámetro de rigidez flexural, pueden ser aleatorios. Adaptamos convenientemente distintas técnicas estocásticas para calcular de forma exacta o aproximada la función de densidad de probabilidad de la deflexión de la viga en voladizo en cada uno de los dos modelos antes mencionados. Por último, se revisita un modelo sencillo propuesto recientemente para estudiar una clase de osciladores aleatorios formulados mediante la derivada fraccionaria de Caputo. Concretamente se construyen aproximaciones de la función de densidad de probabilidad de la respuesta estocástica aprovechando el método de transformación de variables aleatorias adaptado a procesos estocásticos. En este estudio se dan condiciones suficientes sobre los parámetros (que son variables aleatorias) del modelo para garantizar la convergencia de estas aproximaciones. / [CA] Les equacions diferencials són ferramentes fonamentals per a modelitzar i analitzar sistemes dinàmics en Enginyeria. Les equacions diferencials permeten als enginyers descriure com canvien en el temps i/o l'espai les magnituds físiques com, per exemple, la posició d'un sistema vibratori (com pot ser un moll), la deflexió d'una estructura mecànica (com pot ser una viga), etc. Per altra banda, molts sistemes del món real estan afectats per incerteses. Per exemple, els errors de mesurament, la comprensió incompleta de fenòmens físics complexos, el soroll termal en els circuits electrònics i les variacions en les propietats dels materials a causa de la seua heterogeneïtat són factors que involucren cert nivell d'aleatorietat que ha de tindre's en compte en la modelització. Esta modelització sol realitzar-se en molts casos mitjançant equacions diferencials que, per tant, contindrà en la seua formulació incertesa, donant lloc a equacions diferencials aleatòries/estocàstiques. Proporcionar mètodes rigorosos per a estudiar estes equacions és fonamental per a desenvolupar solucions robustes i fiables de problemes d'Enginyeria. Esta tesi presenta una anàlisi probabilística de tres classes de problemes d'Enginyeria Mecànica, com són els sistemes vibratoris (oscil·ladors), les estructures mecàniques (deflexió de bigues) i un problema mecànic modelat per una equació diferencial fraccionària aleatòria. Al llarg del nostre treball, hem aplicat diferents tècniques matemàtiques per a aconseguir una comprensió més profunda del comportament d'estos sistemes sota excitacions aleatòries. A més a més, en esta tesi ens hem centrat en construir aproximacions, no sols dels moments estadístics principals (mitjana, variància, etc.), sinó també la funció de densitat de probabilitat de la resposta (solució) dels diferents models estudiats. Proporcionar una descripció probabilística completa d'esta mena de models mecànics és un tema que ha atret l'interés tant de matemàtics com d'enginyers durant les últimes dècades. En primer lloc, estudiem dos oscil·ladors aleatoris no lineals en els quals el terme de restauració depén de la posició, en el primer cas, i de la posició i la velocitat, en el segon. El terme no lineal està afectat per un xicotet paràmetre de pertorbació. Com en tots dos casos no podem obtindre la solució explícitament, utilitzarem el mètode de pertorbació estocàstica per a construir aproximacions de la solució estocàstica i els seus primers moments estadístics. Això, en combinació amb el principi de màxima entropia, ens permetrà obtindre aproximacions fiables de la funció de densitat de probabilitat estacionària de la solució. En segon lloc, s'aborda l'estudi de dos models estàtics aleatoris que descriuen la deflexió d'una biga en volada. Distingim dos escenaris diferents respecte al tipus de processos estocàstics que modelen la distribució de la càrrega que suporta la biga i suposant aleatorietat per a alguns paràmetres del model, com el mòdul de Young o el paràmetre de rigidesa flexural. Adaptem convenientment diferents tècniques estocàstiques per a calcular de manera exacta o aproximada la funció de densitat de probabilitat de la deflexió de la biga en volada en cadascun dels dos models abans esmentats. Finalment, es revisita un model senzill proposat recentment per a estudiar una classe d' oscil·ladors aleatoris formulats mitjançant la derivada fraccionària de Caputo. Concretament, es construïxen aproximacions de la funció de densitat de probabilitat de la resposta estocàstica aprofitant el mètode de transformació de variables aleatòries adaptat a processos estocàstics. En este estudi es donen condicions suficients sobre els paràmetres (que són variables aleatòries) del model per a garantir la convergència d'estes aproximacions. Els resultats d'este estudi poden ser d'utilitat per emprendre en el futur l'estudi d' oscil·ladors aleatoris més complexos formulats mitjançant equacions diferencials fraccionàries. / [EN] Differential equations in Engineering are fundamental tools for modelling and analysing dynamical systems. Differential equations allow engineers to describe how physical quantities change over time and/or space, such as vibratory systems, mechanical structures, etc. However, many real-world systems are influenced by uncertainties. For instance, measurement errors, incomplete understanding of complex physical phenomena, random fluctuations like electronic circuit noise, and unpredictable material properties variations are aleatoric factors. Understanding both deterministic and random/stochastic differential equations is, therefore, vital for developing robust and reliable engineering solutions in a random world. This thesis presents a comprehensive probabilistic analysis of three mechanical engineering problems: vibratory systems (oscillators), mechanical structures (deflection of beams), and a foundational mechanical problem modelled by a random fractional differential equation. Throughout our work, we have applied different mathematical techniques to better understand these system's behavior under random excitations. A significant focus has been on accurately approximating not only the main statistical moments but also the probability density function of the model's response (solution) of the models studied throughout this dissertation. Providing a complete probabilistic description of such types of mechanical models is a topic that has attracted the interest of mathematicians and engineers during the last decades. In the first place, we will study two nonlinear random oscillators where the restoring term depends on the position, in the first case, and on the position and velocity, in the second one. The nonlinear term is affected by a small perturbative parameter. As in both cases, we cannot obtain the solution explicitly, we will use the stochastic perturbation method to construct approximations of the stochastic solution and its first statistical moments. This, in combination with the principle of maximum entropy, will result in obtaining reliable approximations of the stationary probability density function of the response. Second, we will study two models describing the deflection of a random static cantilever beam. We distinguish two different scenarios with respect to the type of stochastic processes modelling the distribution of the load spanned the beam and assuming randomness for some model parameters such as the Young's modulus or the flexural rigidity parameter. We then conveniently adapt different stochastic techniques to calculate exactly or approximately the probability density function of the deflection of the cantilever. Finally, we will revisit a simple model recently proposed to study a class of random oscillators formulated via the Caputo fractional derivative. We will construct approximations of the probability density function of the stochastic response, taking advantage of the random variable transformation method. We rigorously prove the convergence of these approximations under mild conditions of the model's parameters. This approach can inspire the study of more complex oscillators formulated via fractional differential equations. / López Navarro, E. (2024). Advances on Differential Equations with Uncertainties and their Applications to Probabilistic Mechanics Engineering [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/213333