Thermodynamic processes in finite time are in general irreversible. But there are chances to avoid irreversibility. For instance, there are canonical ensembles of special quantum systems with a given probability distribution describing the likelihood to find the system at time t=0 in a particular state with energy E_i(0), which can be controlled in a specific way, such that the initial probability distribution is recovered at the end of the process (t=T), but the state energies did change, hence E_i(0) is not equal to E_i(T). This allows to change thermodynamic quantities (expectation values) adiabatically, reversibly and in finite time. Such special processes are called Shortcuts to Adiabaticity. The presented thesis analyzes the origin of these shortcuts utilizing special Hamiltonian systems with dynamical algebra. Their main feature is to provide canonical invariance, which means a canonical ensemble stays canonical under Hamiltonian dynamics. This invariance carried by the dynamical algebra will be discussed using Lie group theory. In addition, the persistence of the dynamical algebra with respect to calculating expectation values will be deduced. This allows to benefit from all intrinsic symmetries within the discussion of ensemble trajectories. In consequence, these trajectories will evolve under Hamiltonian dynamics on a specific manifold given by the so-called Casimir companion. In addition, the deformation of this manifold due to non-Hamiltonian (dissipative) dynamics will be discussed, which allows to present a framework for modeling irreversible processes based on Hamiltonian systems with dynamical algebra. An application of this framework based on the parametric harmonic oscillator will be presented by determining time-optimal controls for transitions between two equilibrium as well as between non-equilibrium and equilibrium states. The latter one will lead to time-optimal equilibration strategies for a statistical ensemble of parametric harmonic oscillators. / Thermodynamische Prozesse in endlicher Zeit sind im Allgemeinen irreversibel. Es gibt jedoch Möglichkeiten, diese Irreversibilität zu umgehen. Ein kanonisches Ensemble eines speziellen quantenmechanischen Systems kann zum Beispiel auf eine ganz spezielle Art und Weise gesteuert werden, sodass nach endlicher Zeit T wieder eine kanonische Besetzungverteilung hergestellt ist, sich aber dennoch die Energie des Systems geändert hat (E(0) ungleich E(T)). Solche Prozesse erlauben das Ändern thermodynamischer Größen (Ensemblemittelwerte) der erwähnten speziellen Systeme in endlicher Zeit und auf eine adiabatische und reversible Art. Man nennt diese Art von speziellen Prozessen Shortcuts to Adiabaticity und die speziellen Systeme hamiltonsche Systeme mit dynamischer Algebra. Die vorliegende Dissertation hat zum Ziel den Ursprung dieser Shortcuts to Adiabaticity zu analysieren und eine Methodik zu entwickeln, die es erlaubt irreversible thermodynamische Prozesse adequat mittels dieser speziellen Systeme zu modellieren. Dazu wird deren besondere Eigenschaft ausgenutzt, die kanonische Invarianz, d.h. ein kanonisches Ensemble bleibt kanonisch bezüglich hamiltonscher Dynamik. Der Ursprung dieser Invarianz liegt in der dynamischen Algebra, die mit Hilfe der Theorie der Lie-Gruppen näher betrachtet wird. Dies erlaubt, eine weitere besondere Eigenschaft abzuleiten: Die Ensemblemittelwerte unterliegen ebenfalls den Symmetrien, die die dynamische Algebra widerspiegelt. Bei näherer Betrachtung befinden sich alle Trajektorien der Ensemblemittelwerte auf einer Mannigfaltigkeit, die durch den sogenannten Casimir Companion beschrieben wird. Darüber hinaus wird nicht-hamiltonsche/dissipative Dynamik betrachtet, welche zu einer Deformation der Mannigfaltigkeit führt. Abschließend wird eine Zusammenfassung der grundlegenden Methodik zur Modellierung irreversibler Prozesse mittels hamiltonscher Systeme mit dynamischer Algebra gegeben. Zum besseren Verständnis wird ein ausführliches Anwendungsbeispiel dieser Methodik präsentiert, in dem die zeitoptimale Steuerung eines Ensembles des harmonischen Oszillators zwischen zwei Gleichgewichtszuständen sowie zwischen Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtszuständen abgeleitet wird.

Thermodynamic processes in finite time are in general irreversible. But there are chances to avoid irreversibility. For instance, there are canonical ensembles of special quantum systems with a given probability distribution describing the likelihood to find the system at time t=0 in a particular state with energy E_i(0), which can be controlled in a specific way, such that the initial probability distribution is recovered at the end of the process (t=T), but the state energies did change, hence E_i(0) is not equal to E_i(T). This allows to change thermodynamic quantities (expectation values) adiabatically, reversibly and in finite time. Such special processes are called Shortcuts to Adiabaticity. The presented thesis analyzes the origin of these shortcuts utilizing special Hamiltonian systems with dynamical algebra. Their main feature is to provide canonical invariance, which means a canonical ensemble stays canonical under Hamiltonian dynamics. This invariance carried by the dynamical algebra will be discussed using Lie group theory. In addition, the persistence of the dynamical algebra with respect to calculating expectation values will be deduced. This allows to benefit from all intrinsic symmetries within the discussion of ensemble trajectories. In consequence, these trajectories will evolve under Hamiltonian dynamics on a specific manifold given by the so-called Casimir companion. In addition, the deformation of this manifold due to non-Hamiltonian (dissipative) dynamics will be discussed, which allows to present a framework for modeling irreversible processes based on Hamiltonian systems with dynamical algebra. An application of this framework based on the parametric harmonic oscillator will be presented by determining time-optimal controls for transitions between two equilibrium as well as between non-equilibrium and equilibrium states. The latter one will lead to time-optimal equilibration strategies for a statistical ensemble of parametric harmonic oscillators. / Thermodynamische Prozesse in endlicher Zeit sind im Allgemeinen irreversibel. Es gibt jedoch Möglichkeiten, diese Irreversibilität zu umgehen. Ein kanonisches Ensemble eines speziellen quantenmechanischen Systems kann zum Beispiel auf eine ganz spezielle Art und Weise gesteuert werden, sodass nach endlicher Zeit T wieder eine kanonische Besetzungverteilung hergestellt ist, sich aber dennoch die Energie des Systems geändert hat (E(0) ungleich E(T)). Solche Prozesse erlauben das Ändern thermodynamischer Größen (Ensemblemittelwerte) der erwähnten speziellen Systeme in endlicher Zeit und auf eine adiabatische und reversible Art. Man nennt diese Art von speziellen Prozessen Shortcuts to Adiabaticity und die speziellen Systeme hamiltonsche Systeme mit dynamischer Algebra. Die vorliegende Dissertation hat zum Ziel den Ursprung dieser Shortcuts to Adiabaticity zu analysieren und eine Methodik zu entwickeln, die es erlaubt irreversible thermodynamische Prozesse adequat mittels dieser speziellen Systeme zu modellieren. Dazu wird deren besondere Eigenschaft ausgenutzt, die kanonische Invarianz, d.h. ein kanonisches Ensemble bleibt kanonisch bezüglich hamiltonscher Dynamik. Der Ursprung dieser Invarianz liegt in der dynamischen Algebra, die mit Hilfe der Theorie der Lie-Gruppen näher betrachtet wird. Dies erlaubt, eine weitere besondere Eigenschaft abzuleiten: Die Ensemblemittelwerte unterliegen ebenfalls den Symmetrien, die die dynamische Algebra widerspiegelt. Bei näherer Betrachtung befinden sich alle Trajektorien der Ensemblemittelwerte auf einer Mannigfaltigkeit, die durch den sogenannten Casimir Companion beschrieben wird. Darüber hinaus wird nicht-hamiltonsche/dissipative Dynamik betrachtet, welche zu einer Deformation der Mannigfaltigkeit führt. Abschließend wird eine Zusammenfassung der grundlegenden Methodik zur Modellierung irreversibler Prozesse mittels hamiltonscher Systeme mit dynamischer Algebra gegeben. Zum besseren Verständnis wird ein ausführliches Anwendungsbeispiel dieser Methodik präsentiert, in dem die zeitoptimale Steuerung eines Ensembles des harmonischen Oszillators zwischen zwei Gleichgewichtszuständen sowie zwischen Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtszuständen abgeleitet wird.