CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho visa contribuir para que alunos e professores do ensino mÃdio possam aprimorar seus conhecimentos matemÃticos em nÃmeros complexos, polinÃmios e equaÃÃes polinomiais. Inicialmente foi analisado o contexto histÃrico dos nÃmeros complexos, em seguida foram vistos alguns conceitos importantes como o de corpo dos nÃmeros complexos, unidade imaginÃria e plano complexo. AlÃm disso, foram apresentadas as propriedades e operaÃÃes bÃsicas dos polinÃmios, o dispositivo de Briot-Ruffini, atravÃs do qual podemos obter o quociente e o resto da divisÃo de um polinÃmio p(x) por um polinÃmio linear. Parte significativa deste trabalho foi dedicado ao estudo de equaÃÃes algÃbricas. Nessa perspectiva, foram discutidos alguns teoremas e mÃtodos resolutivos de equaÃÃes como o mÃtodo de Gustavo, que nos auxilia na resoluÃÃo de equaÃÃes do terceiro e do quarto graus, o teorema das raÃzes racionais, entre outros. Para tanto, foi essencial provar o Teorema Fundamental da Ãlgebra, que afirma que todo polinÃmio nÃo constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Ademais, mostramos como podemos analisar o nÃmero de raÃzes reais de uma equaÃÃo polinomial com coeficientes reais. Nesse sentido, provamos o Teorema de Descartes, que diz que o nÃmero de raÃzes positivas de uma equaÃÃo nÃo supera o nÃmero de mudanÃas de sinal na sequÃncia dos seus coeficientes nÃo nulos. Provamos tambÃm o Teorema de Bolzano, que investiga o nÃmero de raÃzes reais de uma equaÃÃo num intervalo real e, finalmente, o Teorema de Lagrange que estabelece um limite superior das raÃzes reais de uma equaÃÃo. / This work aims to help students and high school teachers to improve their math skills in complex numbers, polynomials and polynomial equations. Initially it analysed the historical context of complex numbers then were seen some important concepts such as the body of complex numbers, imaginary unit and complex plane. In addition, the properties and basic operations of the polynomials were presented, the Briot-Ruffini device, through which we can get the quotient and remainder of the division of a polynomial p(x) by a linear polynomial. Significant part of this work was devoted to the study of algebraic equations. In this perspective, were discussed some theorems and methods of resolution of equations such as the method of Gustavo, who helps us in the resolution of equations of the third and fourth degrees, the theorem of rational roots, among others. For both, it was essential to prove the Fundamental Theorem of Algebra, which says that all polynomial not constant with complex coeficients has at least one complex root. Furthermore, we show how we can analyze the number of real roots of a polynomial equation with real coeficients. In this sense, we will prove the Theorem of Descartes, which says that the number of positive roots of an equation does not exceed the number of signal changes following its non-zero coeficients. We prove the theorem of Bolzano, which investigates the number of real roots of an equation in a real interval and finally the theorem of Lagrange the establishes an upper limit on roots of an equation.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.teses.ufc.br:9894 |
| Date | 29 July 2015 |
| Creators | Carlos Kleber Alves do Nascimento |
| Contributors | Josà Alberto Duarte Maia, Francisco Regis Vieira Alves, Josà Valter Lopes Nunes |
| Publisher | Universidade Federal do CearÃ, Programa de PÃs-GraduaÃÃo em MatemÃtica em Rede Nacional (PROFMAT), UFC, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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