[pt] Uma medida de probabilidade com suporte compacto em um grupo de
matrizes determina uma sequência de matrizes aleatórias i.i.d. Considere o
processo multiplicativo correspondente e suas médias geométricas. O teorema
de Furstenberg-Kesten, análogo da lei dos grandes números neste cenário,
garante que as médias geométricas desse processo multiplicativo convergem
quase certamente para uma constante, chamada de expoente de Lyapunov
maximal da medida dada. Este conceito pode ser reformulado no contexto
mais geral da teoria ergódica usando cociclos lineares aleatórios sobre o shift
de Bernoulli. Uma questão natural diz respeito às propriedades de regularidade do
expoente de Lyapunov como uma função dos seus dados. Sob uma condição
de irredutibilidade e em um cenário específico (que foi posteriormente generalizado
por vários autores) Le Page estabeleceu a continuidade de Holder
do expoente de Lyapunov. Recentemente, Baraviera e Duarte obtiveram uma
prova direta e elegante deste tipo de resultado. Seu argumento usa a fórmula
de Furstenberg e as propriedades de regularidade da medida estacionária.
Seguindo sua abordagem, neste trabalho obtemos um novo resultado
mostrando que, sob a mesma hipótese de irredutibilidade, o expoente de
Lyapunov depende Hölder continuamente da medida, relativamente à métrica
de Wasserstein, generalizando assim o resultado de Baraviera e Duarte. / [en] A compactly supported probability measure on a group of matrices determines
a sequence of i.i.d. random matrices. Consider the corresponding multiplicative
process and its geometric averages. Furstenberg-Kesten s theorem,
the analogue of the law of large numbers in this setting, ensures that the
geometric averages of this multiplicative process converge almost surely to a
constant, called the maximal Lyapunov exponent of the given measure. This
concept can be reformulated in the more general context of ergodic theory
using random linear cocycles over the Bernoulli shift.
A natural question concerns the regularity properties of the Lyapunov
exponent as a function of the data. Under an irreducibility condition and
in a specific setting (which was later generalized by various authors) Le
Page established the Holder continuity of the Lyapunov exponent. Recently,
Baraviera and Duarte obtained a direct and elegant proof of this type of result.
Their argument uses Furstenberg s formula and the regularity properties of the
stationary measure.
Following their approach, in this work we obtain a new result showing
that under the same irreducibility hypothesis, the Lyapunov exponent depends
Holder continuously on the measure, relative to the Wasserstein metric, thus
generalizing the result of Baraviera and Duarte.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:52950 |
| Date | 27 May 2021 |
| Creators | MARCELO DURAES CAPELEIRO PINTO |
| Contributors | SILVIUS KLEIN |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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