Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2013. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2014-01-14T09:50:38Z
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2013_EudesAntoniodaCosta_Parcial.pdf: 44872 bytes, checksum: 10ca621a1fee4cef0211600d2862047a (MD5) / Sejam K um anel associativo, comutativo e unitário e (K) X a K-álgebra associativa livre num conjunto não-vazio X de geradores livres. Defina um comutador normado à esquerda [x1;x2; : : : ;xn] por [a;b] = ab−ba e [a;b;c] = [ [a;b];c ] . Para n ≥ 2, seja T(n) o ideal bilateral em K(X) gerado pelos comutadores [a1;a2; : : : ;an] (ai ∈ K(X)). A álgebra quociente K(X)=T(n+1) pode ser vista como a K-álgebra universal associativa Lie nilpotente de classe n gerada por X. É fácil ver que o ideal T(2) é gerado, como um ideal bilateral em K(X), pelos comutadores [x1;x2] (xi ∈ X). É bem conhecido que o ideal T(3) é gerado pelos polinômios [x1;x2;x3] e [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4] (xi ∈ X). Um conjunto similar de geradores para T(4) é também conhecido. O resultado principal do presente trabalho é exibir um conjunto semelhante de geradores para T(5). Nós provaremos que o ideal T(5) é gerado, como um ideal bilateral em K(X), pelos seguintes polinômios: [x1;x2;x3;x4;x5]; [x1;x2;x3][x4;x5;x6]; [x1;x2;x3][x4;x5;x6;x7]; [x1;x2][x3;x4;x5;x6]+[x6;x2][x3;x4;x5;x1]; ( [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4] ) [x5;x6;x7]; [ [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4];x5;x6 ] ; [ [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4];x5 ] [x6;x7]+ [ [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4];x6 ] [x5;x7]; ( [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4] )( [x5;x6][x7;x8]+[x5;x7][x6;x8] ) ; com xi ∈ X para todo i. Nós também descreveremos algumas componentes multilineares de Z(X)=L3 e Z(X)=L4, sendo Ln o n-ésimo termo da série central inferior de Z(X) visto como um anel de Lie . ______________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let K be a unital associative and commutative ring and let K(X) be the free associative K-algebra on a non-empty set X of free generators. Define a left-normed commutator [x1;x2; : : : ;xn] by [a;b] = ab−ba and [a;b;c] = [ [a;b];c ] . For n ≥ 2, let T(n) be the two-sided ideal in K(X) generated by all commutators [a1;a2; : : : ;an] (ai ∈ K(X)). The quotient algebra K(X)=T(n+1) can be viewed as the universal Lie nilpotent associative K-algebra of class n generated by X. It can be easily seen that the ideal T(2) is generated, as a two-sided ideal in K(X), by the commutators [x1;x2] (xi ∈ X). It is well-known that T(3) is generated by the polynomials [x1;x2;x3] and [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4] (xi ∈ X). A similar generating set for T(4) is also known. The aim of the present work is to exhibit a similar generating set for T(5). We prove that the ideal T(5) is generated, as a two-sided ideal in K(X), by the following polynomials: [x1;x2;x3;x4;x5]; [x1;x2;x3][x4;x5;x6]; [x1;x2;x3][x4;x5;x6;x7]; [x1;x2][x3;x4;x5;x6]+[x6;x2][x3;x4;x5;x1]; ( [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4] ) [x5;x6;x7]; [ [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4];x5;x6 ] ; [ [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4];x5 ] [x6;x7]+ [ [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4];x6 ] [x5;x7]; ( [x1;x2][x3;x4]+[x1;x3][x2;x4] )( [x5;x6][x7;x8]+[x5;x7][x6;x8] ) ; where xi ∈ X for all i. We also describe some multilinear components of Z(X)=L3 and Z(X)=L4 where Ln is the n-th term of the lower central series of Z(X) viewed as a Lie ring.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.unb.br:10482/14973 |
| Date | 30 August 2013 |
| Creators | Costa, Eudes Antonio da |
| Contributors | Krassilnikov, Alexei |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UnB, instname:Universidade de Brasília, instacron:UNB |
| Rights | A concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data., info:eu-repo/semantics/openAccess |
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