Réalisé en cotutelle avec l'Université Paris-Diderot. / Nous présentons trois résultats
en combinatoire additive,
un domaine récent à la croisée
de la combinatoire, l'analyse harmonique
et la théorie analytique des nombres.
Le thème unificateur de notre thèse
est la détection de structures additives
dans les ensembles arithmétiques à faible densité,
avec un intérêt particulier pour les aspects quantitatifs.
Notre première contribution est une estimation
de densité améliorée pour le problème,
initié entre autres par Bourgain,
de trouver une longue progression arithmétique
dans un ensemble somme triple.
Notre deuxième résultat consiste en une généralisation
des bornes de Sanders pour le théorème de Roth,
du cas d'un ensemble dense dans les entiers à
celui d'un ensemble à faible croissance additive
dans un groupe abélien arbitraire.
Finalement, nous étendons
les meilleures bornes quantitatives
connues pour le théorème de Roth dans les premiers,
à tous les systèmes d'équations linéaires
invariants par translation et de
complexité un. / We present three results in additive combinatorics,
a recent field at the interface of
combinatorics, harmonic analysis and analytic number theory.
The unifying theme in our thesis
is the detection of additive structure
in arithmetic sets of low density,
with an emphasis on quantitative aspects.
Our first contribution is an improved density estimate
for the problem, initiated by Bourgain and others,
of finding a long arithmetic progression in a triple sumset.
Our second result is a generalization of
Sanders' bounds for Roth's theorem
from the dense setting,
to the setting of small doubling in an arbitrary abelian group.
Finally, we extend the best known quantitative results
for Roth's theorem in the primes,
to all translation-invariant systems
of equations of complexity one.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/11116 |
| Date | 07 1900 |
| Creators | Henriot, Kevin |
| Contributors | Granville, Andrew, La Bretèche, Régis de |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation |
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