Ce travail traite du calcul fonctionnel des op\'rateurs dont le spectre est contenu dans les nombres r\'{e}els positifs. On s'int\'resse en particulier aux th\'{e}or\`{e}mes de multiplicateurs spectraux.\\ On aborde le calcul abstrait et optimal, c'est-\`{a}-dire les homomorphismes $u : C(K) \to B(X)$. Si $X$ est un espace de Hilbert, alors l'extension naturelle $\hat{u} : C(K;[u]') \to B(X)$ de $u$ sur l'ensemble des op\'rateurs est \` nouveau born\'{e}e. En utilisant la $R$-bornitude, un renforcement de la bornitude uniforme, on donne une extension de ce r\'sultat \` des espaces de Banach g\'{e}n\'raux $X$ et on l'applique au calcul $H$ infini et aux bases inconditionnelles dans des espaces $L^p$.\\ On d\'{e}veloppe des calculs associ\'s \` des op\'{e}rateurs sectoriels. Les exemples classiques en sont les th\'or\`mes spectraux de Mihlin et H\"{o}rmander donnant des classes de fonctions lisses qui forment des multiplicateurs de Fourier sur $L^p$. Ces th\'{e}or\`{e}mes ont d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} \'{e}tendus \`{a} une large classe d'op\'{e}rateurs de type Laplacien. On les regroupe sous une forme unifi\'{e}e gr\^{a}ce \`{a} la th\'{e}orie des op\'{e}rateurs: on compare le calcul de Mihlin et de H\"rmander \` la bornitude des familles classiques associ\'{e}es \`{a} un op\'rateur sectoriel.\\ Pour la famille des puissances imaginaires, on donne une caract\'{e}risation de leur croissance polynomiale en fonction d'un calcul fonctionnel qui raffine le calcul de Mihlin.\\ On \'tudie des semi-groupes de diffusion qui agissent sur une \'{e}chelle d'espaces de Banach. Il est connu que le semi-groupe a une extension analytique sur un secteur dans le plan complexe si cette \'chelle consiste des espaces $L^p$. On donne une g\'{e}n\'ralisation de ce r\'{e}sultat \`{a} des espaces $L^p$ non commutatifs en utilisant la th\'orie des espaces d'op\'{e}rateurs.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00461310 |
| Date | 04 December 2009 |
| Creators | Kriegler, Christoph |
| Publisher | Université de Franche-Comté |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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