Pour une bonne modélisation mathématique de l'occurrence de phénomènes aléatoires, part fondamentale de la discipline actuarielle, il est nécessaire d'employer des distributions multivariées permettant de capturer adéquatement les relations de dépendance présentes entre les phénomènes. Celles qu'offrent les champs aléatoires markoviens, une famille de modèle probabilistes graphiques, répondent à ce besoin, les relations de dépendance qu'elles introduisent se calquant à un arbre ou à un graphe. Les champs aléatoires markoviens misent ainsi sur les riches possibilités de topologies d'arbres et de graphes pour offrir cette même richesse en termes de dépendance. Une nouvelle famille de champs aléatoires markoviens arborescents, c'est-à-dire se basant sur des arbres, est proposée. Les membres de cette famille se distinguent par le fait qu'ils ont des distributions marginales fixes de Poisson, « fixes » dans le sens que la dépendance introduite n'a pas d'impact sur elles. Des distribution marginales fixes sont inhabituelles pour un champ aléatoire markovien, bien que généralement désirables pour fins de modélisation. Cette caractéristique est possible par l'encapsulation, dans les arêtes de l'arbre, de la dynamique de propagation induite par l'opérateur d'amincissement binomial. Cela mène également à une représentation stochastique intuitive des champs aléatoires markoviens de la famille, à des méthodes simples de simulation et à des expressions analytiques pour leur fonction de masses de probabilités conjointe et leur fonction génératrice de probabilités conjointe, notamment. Quantités importantes dans un contexte actuariel, la somme des composantes du champ aléatoire markovien, interprétable comme le nombre total d'événement s'étant produits, et les contributions individuelles de ces composantes sont étudiées en profondeur. Cette analyse passe notamment par l'établissement d'ordres stochastiques. À cet effet, un nouvel ensemble partiellement ordonné est défini pour comparer des arbres aux topologies différentes selon la distribution qu'ils induisent pour la somme, ce qui est, à notre connaissance, novateur dans le contexte de modèles pobabilistes graphiques. Est offerte une comparaison de cet ensemble partiellement ordonné avec quelques autres en lien avec la théorie spectrale des graphes. / For adequate mathematical modeling of random phenomena's occurrences, it is necessary to employ multivariate distributions that appropriately capture the existing dependence relations between those phenomena. The multivariate distributions granted by Markov random fields, a family of probabilistic graphical models, answer to this need, by encrypting the dependence scheme they introduce on a tree or a graph. Markov random fields thus leverage on the rich possibilities of tree shapes and graph shapes to provide these possibilities in terms of dependence schemes. We propose a new family of tree-based Markov random fields, characterized by their Poisson marginal distributions. The marginal distributions are also fixed, meaning they are not affected by the introduced dependence. This fixedness is uncommon for Markov random fields, while being desirable for modeling purposes. It is obtained from the encapsulation, in the edges of the tree, of the propagation dynamic induced by the binomial thinning operator. This leads to an intuitive stochastic representation of Markov random fields from the proposed family, simple methods of simulation, and analytic expressions for their joint probability mass function and their joint probability generating function, notably. Important quantities in an actuarial context are the sum of the components of the Markov random field, interpreted as the total number of occurring phenomena, and the individual contributions of these components. They are thoroughly studied, notably via the use of stochastic order relations. We incidently design a new partially ordered set (poset) of trees, in order to compare trees of different shapes based on the distribution of the sum they respectively convey. To our knowledge, this approach is innovative in the context of probabilistic graphical models. We provide comparisons of the newly defined poset with some other posets of trees fetched from spectral graph theory.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/148343 |
| Date | 16 August 2024 |
| Creators | Côté, Benjamin |
| Contributors | Marceau, Étienne, Cossette, Hélène |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (x, 71 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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