Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato $\\lambda$ definida numa 3-variedade compacta e conexa M. Assumimos que $\\lambda$ é tight e a primeira classe de Chern da estrutura de contato $\\xi=\\ker\\lambda$ se anula sobre $\\pi_2(M)$. No nosso primeiro resultado, supomos que M é fechada e existe uma órbita fechada L do fluxo de Reeb que é um p-nó trivial com número de auto-enlaçamento $-1/p$. Supomos, além disso, que o número de rotação transversal da p-ésima iterada de L é estritamente menor do que 1. Nestas condições, provamos que existe uma órbita fechada (de Reeb) contrátil geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L cujo número de rotação transversal é 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que M é uma 3-variedade cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existem órbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultado é uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja $\\lambda$ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, então ou existe uma órbita fechada contrátil com índice de Conley-Zehnder 2 ou M é folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Neste último caso, M é difeomorfa a um toro sólido e existe uma órbita fechada não-contrátil em M que é ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. / In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form $\\lambda$ defined on a compact, connected 3-manifold M. Suppose that the first Chern class of $\\xi=\\ker\\lambda$ vanish on $\\pi_2(M)$. In our first result, we assume that M is closed and there exists a closed Reeb orbit L which is a p-unknotted, has self-linking number $-1/p$ and the transverse rotation number of the p-th iterate of L is less than 1. Under these conditions, we verify that there exists a contractible closed Reeb orbit which is geometrically distinct from L and not linked to L with transverse rotation number 1. We also prove a version of this result when M is a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus and invariant by the flow and, moreover, there does not exist closed Reeb orbits on the boundary. Our second result is a dynamical characterization of the solid torus. We assume that $\\lambda$ is a contact form on a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus. Under the hypothesis of $\\lambda$ being non-degenerate, if the flow is tangent to $\\partial M$ and satisfies some twist conditions on the boundary, then either there exists a contractible closed Reeb orbit which has Conley-Zehnder index 2 or M is foliated by disks transverse to the Reeb flow. In this last case, we see that M is diffeomorphic to a solid torus and there exists a non-contractible closed Reeb orbit M which is a fixed point of the return map induced by the foliation.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-05022015-222314 |
| Date | 29 October 2014 |
| Creators | Silva, André Vanderlinde da |
| Contributors | Hryniewicz, Umberto Leone, Salomão, Pedro Antonio Santoro |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | Tese de Doutorado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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