El presente trabajo de memoria tiene por objetivo principal el estudio de propiedades
topológicas de la clase de sistemas dinámicos llamados nilsistemas. Esta clase de sistemas
dinámicos ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra en
[25] de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su
demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría
Ergódica y se han desarrollado herramientas ergódicas en otras áreas de las matemáticas,
como en Combinatoria Aditiva.
En su artículo Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto
medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado en dos artículos
recientes de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, en donde demuestran
que cada sistema dinámico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden. En esta
memoria, se estudian algunas propiedades topológicas adicionales de los nilsistemas, en
particular propiedades de mezcla y estabilización de esos factores.
La complejidad asociada a un cubrimiento abierto finito en un sistema dinámico
comenzó a ser estudiada en [4] en donde se muestra que esa cantidad goza de propiedades
que permiten caracterizar sistemas dinámicos. Una de las motivaciones de la presente
memoria es indagar qué otros tipos de conclusiones pueden ser obtenidas estudiando esta
cantidad. Una pregunta interesante es qué clase de sistemas tiene complejidad polinomial.
En particular, se estudia la complejidad de los nilsistemas y se concluye que esta es
polinomial en cada cubrimiento abierto donde el grado del polinomio es una constante del
sistema.
En el Capítulo 1 se introduce el tema de memoria, el contexto histórico matemático que
la motiva y las preguntas relevantes que se desarrollan a lo largo del texto.
En el Capítulo 2 se introducen las nociones básicas de Dinámica Topológica y Teoría
Ergódica y también las definiciones y resultados recientes relacionados con la teoría de
nilsistemas.
En el Capítulo 3, se estudia la complejidad topológica de los nilsistemas y de sus límites
inversos y se logra demostrar que ésta es polinomial en cada cubrimiento abierto.
En el Capítulo 4 se desarrollan algunas propiedades topológicas sobre nilsistemas, las
cuales fueron obtenidas en [10] en un artículo en colaboración. Se demuestra un criterio
de débil mezcla utilizando los cubos dinámicos y se prueba que la secuencia de nilfactores
de un sistema dinámico o es estrictamente creciente o se estabiliza en un cierto nivel. Se
estudia además la relación entre recurrencia con estructura IP con el límite inverso de los
nilfactores topológicos. Se muestra que un sistema sin recurrencia estructurada IP es una
extensión casi uno a uno del límite inverso de sus nilfactores.
Finalmente, en el Anexo se adjunta el artículo Infinite-step nilsystems, independence
and complexity, dentro del cual se inserta el trabajo realizado en esta memoria.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/104346 |
| Date | January 2011 |
| Creators | Donoso Fuentes, Sebastián Andrés |
| Contributors | Maass Sepúlveda, Alejandro, Schraudner, Michael, Martínez Aguilera, Servet, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Matemática |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
Page generated in 0.0021 seconds