En esta tesis investigamos la clase de los qM3 retículos y la de los mM3−retículos o
M3−retículos monádicos, que son M3−retículos dotados de un cuantificador existencial,
en el primer caso, y en el segundo de dos cuantificadores: existencial y universal. También
estudiamos la clase de los M3−retículos k–cíclicos, que son M3−retículos dotados de un
automorfismo de período k. Hemos organizado el trabajo en cinco capítulos, divididos a
su vez en secciones y subsecciones en algunos casos.
El Capítulo 1 está dividido en cuatro secciones. En las primeras, repasamos resultados
principales sobre retículos distributivos y exponemos distintos conceptos de álgebra universal
y espacios de Priestley. Todos los resultados indicados son conocidos. Los hemos
incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las definiciones. En la
última sección, introducimos los M3−retículos definidos por A. V. Figallo a sugerencia de
A. Monterio en Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matemática, XXI, 1987.
En la primera sección del Capítulo 2, indicamos una dualidad topológica para los
M3−retículos. En la segunda sección, utilizando la dualidad, caracterizamos el retículo de
las congruencias de estas álgebras y determinamos las álgebras simples y subdirectamente
irreducibles, reencontrando los resultados que Figallo había establecido de manera algebraica,
de una forma diferente, vía la topología. Luego nos dedicamos al estudio de las
congruencias principales y booleanas, demostrando que ambas coinciden, están definidas
ecuacionalmente (CPDE) y son congruencias regulares y uniformes. Además probamos
que la variedad M3, es a congruencias conmutativas, que es una variedad filtral y discriminadora
y tiene la propiedad de extensión de congruencias (PEC).
El Capítulo 3, está dividido en cuatro secciones. La primera, está dedicada al estudio
del sistema determinante de unM3−retículo finito, mostrando que el conjunto ordenado de
sus elementos primos, determina la estructura del mismo. En la segunda y tercera sección,
indicamos un método para construir los M3−automorfismos y los M3−epimorfismos,
cuando se trata de M3−retículos finitos, y determinamos en cada caso el número de los
mismos. En la cuarta sección, referida a los M3−retículos k–cíclicos, probamos que la
variedad es semisimple y determinamos el cardinal del álgebra libre finitamente generada.
Comprobamos con esos resultados que dicha variedad es finitamente generada y localmente
finita. Concluimos la sección estableciendo el número de estructuras cíclicas, no isomorfas,
que se pueden definir sobre un M3−retículo finito.
En el Capítulo 4, en la primera sección definimos los qM3−retículos y estudiamos algunas
propiedades válidas en esta clase. En particular, determinamos cómo a partir de
una familia especial de subálgebras de un M3−retículo, podemos obtener un cuantificador
existencial de modo que lo transforme en un qM3−retículo. En la segunda sección, extendemos
la dualidad de Priestley realizada para los M3−retículos con último elemento,
al caso de los qM3−retículos acotados. Empleando esta dualidad, en la tercera sección,
probamos que la variedad es semisimple y obtenemos una caracterización funcional de
los qM3−retículos simples. De igual modo nos abocamos al estudio de las congruencias
principales y booleanas, indicando sus propiedades más destacadas.
El Capítulo 5, está dedicado a los M3−retículos monádicos. En la primera sección,
mostramos propiedades de los mismos y exhibimos la relación existente entre estas álgebras
y los M3−retículos k–cíclicos. En la segunda y tercera sección, presentamos una
dualidad topológica que nos facilita describir las congruencias, probar que la variedad es
semisimple y obtener una caracterización funcional de los mM3−retículos simples. En la
última sección, mostramos, con técnicas topológicas, que se puede interrelacionar ambos
cuantificadores, a pesar que en estas lgebras no es posible hacerlo de la manera clásica,
puesto que la negación de las mismas no se comporta como una negación de De Morgan;
lo que nos permite afirmar que todo qM3−retículo es un M3−retículo monádico. / In this thesis, we study qM3−lattices and mM3−lattices or M3−monadic lattices that
are M3−lattices provided with an existential quantifier in the first case, and, in the second
case, they are provided with two quantifiers, existential and universal. We also study
k–cyclic M3−lattices, which are M3−lattices provided with an automorphism of k period.
We have organized this thesis into five chapters, divided into sections and subsections.
Chapter 1 is divided into four sections. In the first sections, we review main results
on distributive lattices and we expose different universal algebra and Priestley spaces
concepts. All the indicated results are well-known. We have included these concepts not
only to facilitate the reading of the following sections but also to establish definitions. In
the last section, we introduce M3−lattices defined by A.V. Figallo, at suggestion of A.
Monteiro in Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matem´atica, XXI, 1987.
In the first section of Chapter 2, we indicate a topological duality for M3-lattices.
In the second section, using this duality, we characterize the lattice of congruences of
these algebras and we determine simple and subdirectly irreducible algebras, re-finding
the results that Figallo had established in algebraic manner, in a different way, by means
of topology. Then, we studied principal congruences and Boolean congruences,
demonstrating that such congruences coincide, they are equationally defined (EDPC)
and they are regular and uniform congruences. We further prove what the M3 variety is
to commutative congruencies; that it is a filter and discriminating variety, and that it has
the property of congruencies extension (CEP).
Chapter 3 is divided into four sections. The first section is dedicated to the study of the
determining the system of a finite M3−lattice, proving that the ordered set of its prime
elements determines its structure. In the second and third section, we indicate a method
to construct the M3−automorphisms and the M3−epimorphisms, when it is about of
finite M3−lattices, and we also determine their number in both cases. The fourth section
is dedicated to the study of the k–cyclic M3−lattices. First, we prove that the variety is
semisimple and we determine the cardinal of finitely generated free algebra. Afterward,
we prove with these results that the variety is finitely generated and locally finite. To
conclude this section, we determine the number of cyclic structures, non-isomorphic, that
can be defined on a finite M3−lattice.
In Chapter 4, in the first section we define qM3−lattices and we study some valid
properties of such lattices. In particular, we determine how, from a special family of subalgebras
of an M3−lattice, we can obtain an existential quantifier in a way that transforms
it into a qM3−lattice. In the second section, we extend the Priestley duality for M3-lattices
with a last element, in the case of bounded qM3−lattices. By using this duality, in the
third section, we prove that the variety is semisimple and we also obtained a functional
characterization of the simple qM3−lattices. In the same way, we focus on the study of
the principal and Boolean congruences, indicating their most outstanding properties.
Chapter 5 is dedicated to the study of monadic M3−lattices. In the first section, we
prove properties of the latter mentioned and we exhibit the relationship existing between
these algebras and the k–cyclicM3−lattices. In the second and third section, we establish a
topological duality that facilitates us to describe the congruences, to prove that the variety
is semisimple and to obtain a functional characterization of the simple mM3−lattices. In
the fourth section, we demonstrate that, with topological techniques, it is possible to
interrelate both quantifiers, although it is not possible to do it in the classic manner in
these algebras, since their negation does not behave as a De Morgan negation; which
allows us to state that every qM3−lattice is a monadic M3−lattices.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/3488 |
| Date | 12 December 2016 |
| Creators | Jiménez, María A. |
| Contributors | Figallo, Aldo V. |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
Page generated in 0.0034 seconds