Pour une suite ⋀ = (λn) satisfaisant la condition de Müntz Σn 1/λn < +∞ et pour p ∈ [1,+∞), on définit l'espace de Müntz Mp⋀ comme le sous-espace fermé de Lp([0, 1]) engendré par les monômes yn : t ↦ tλn. L'espace M∞⋀ est défini de la même façon comme un sous-espace de C([0, 1]). Lorsque la suite (λn + 1/p)n est lacunaire avec un grand indice, nous montrons que la famille (gn) des monômes normalisés dans Lp est (1 + ε)-isométrique à la base canonique de lp. Dans le cas p = +∞, les monômes (yn) forment une famille normalisée et (1 + ε)-isométrique à la base sommante de c. Ces résultats sont un raffinement asymptotique d'un théorème bien connu pour les suites lacunaires. D'autre part, pour p ∈ [1, +∞), nous étudions les mesures de Carleson des espaces de Müntz, c'est-à-dire les mesures boréliennes μ sur [0,1) telles que l'opérateur de plongement Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) est borné. Lorsque ⋀ est lacunaire, nous prouvons que si les (gn) sont uniformément bornés dans Lp(μ), alors μ est une mesure de Carleson de Mq⋀ pour tout q > p. Certaines conditionsgéométriques sur μ au voisinage du point 1 sont suffsantes pour garantir la compacité de Jμ,p ou son appartenance à d'autres idéaux d'opérateurs plus fins. Plus précisément, nous estimons les nombres d'approximation de Jμ,p dans le cas lacunaire et nous obtenons même des équivalents pour certaines suites ⋀. Enfin, nous calculons la norme essentielle del'opérateur de moyenne de Cesàro Γp : Lp → Lp : elle est égale à sa norme, c'est-à-dire à p'. Ce résultat est aussi valide pour l'opérateur de Cesàro discret. Nous introduisons les sous-espaces de Müntz des espaces de Cesàro Cesp pour p ∈ [1, +∞]. Nous montrons que la norme essentielle de l'opérateur de multiplication par Ψ est égale à ∥Ψ∥∞ dans l'espace deCesàro, et à |Ψ(1)| dans les espaces de Müntz-Cesàro. / For a sequence ⋀ = (λn) satisfying the Müntz condition Σn 1/λn < +∞ and for p ∈ [1,+∞), we define the Müntz space Mp⋀ as the closed subspace of Lp([0, 1]) spanned by the monomials yn : t ↦ tλn. The space M∞⋀ is defined in the same way as a subspace of C([0, 1]). When the sequence (λn + 1/p)n is lacunary with a large ratio, we prove that the sequence of normalized Müntz monomials (gn) in Lp is (1 + ε)-isometric to the canonical basis of lp. In the case p = +∞, the monomials (yn) form a sequence which is (1 + ε)-isometric to the summing basis of c. These results are asymptotic refinements of a well known theorem for the lacunary sequences. On the other hand, for p ∈ [1, +∞), we investigate the Carleson measures for Müntz spaces, which are defined as the Borel measures μ on [0; 1) such that the embedding operator Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) is bounded. When ⋀ is lacunary, we prove that if the (gn) are uniformly bounded in Lp(μ), then for any q > p, the measure μ is a Carleson measure for Mq⋀. These questions are closely related to the behaviour of μ in the neighborhood of 1. Wealso find some geometric conditions about the behaviour of μ near the point 1 that ensure the compactness of Jμ,p, or its membership to some thiner operator ideals. More precisely, we estimate the approximation numbers of Jμ,p in the lacunary case and we even obtain some equivalents for particular lacunary sequences ⋀. At last, we show that the essentialnorm of the Cesàro-mean operator Γp : Lp → Lp coincides with its norm, which is p'. This result is also valid for the Cesàro sequence operator. We introduce some Müntz subspaces of the Cesàro function spaces Cesp, for p ∈ [1, +∞]. We show that the value of the essential norm of the multiplication operator TΨ is ∥Ψ∥∞ in the Cesàaro spaces. In the Müntz-Cesàrospaces, the essential norm of TΨ is equal to |Ψ(1)|.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2017ARTO0406 |
| Date | 07 December 2017 |
| Creators | Gaillard, Loïc |
| Contributors | Artois, Lefèvre, Pascal, Badea, Catalin |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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