Thesis Ph. D.--Mathematics--Åbo (Finland)--Åbo akademi university, 2006.

Pour une suite ⋀ = (λn) satisfaisant la condition de Müntz Σn 1/λn < +∞ et pour p ∈ [1,+∞), on définit l'espace de Müntz Mp⋀ comme le sous-espace fermé de Lp([0, 1]) engendré par les monômes yn : t ↦ tλn. L'espace M∞⋀ est défini de la même façon comme un sous-espace de C([0, 1]). Lorsque la suite (λn + 1/p)n est lacunaire avec un grand indice, nous montrons que la famille (gn) des monômes normalisés dans Lp est (1 + ε)-isométrique à la base canonique de lp. Dans le cas p = +∞, les monômes (yn) forment une famille normalisée et (1 + ε)-isométrique à la base sommante de c. Ces résultats sont un raffinement asymptotique d'un théorème bien connu pour les suites lacunaires. D'autre part, pour p ∈ [1, +∞), nous étudions les mesures de Carleson des espaces de Müntz, c'est-à-dire les mesures boréliennes μ sur [0,1) telles que l'opérateur de plongement Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) est borné. Lorsque ⋀ est lacunaire, nous prouvons que si les (gn) sont uniformément bornés dans Lp(μ), alors μ est une mesure de Carleson de Mq⋀ pour tout q > p. Certaines conditionsgéométriques sur μ au voisinage du point 1 sont suffsantes pour garantir la compacité de Jμ,p ou son appartenance à d'autres idéaux d'opérateurs plus fins. Plus précisément, nous estimons les nombres d'approximation de Jμ,p dans le cas lacunaire et nous obtenons même des équivalents pour certaines suites ⋀. Enfin, nous calculons la norme essentielle del'opérateur de moyenne de Cesàro Γp : Lp → Lp : elle est égale à sa norme, c'est-à-dire à p'. Ce résultat est aussi valide pour l'opérateur de Cesàro discret. Nous introduisons les sous-espaces de Müntz des espaces de Cesàro Cesp pour p ∈ [1, +∞]. Nous montrons que la norme essentielle de l'opérateur de multiplication par Ψ est égale à ∥Ψ∥∞ dans l'espace deCesàro, et à |Ψ(1)| dans les espaces de Müntz-Cesàro. / For a sequence ⋀ = (λn) satisfying the Müntz condition Σn 1/λn < +∞ and for p ∈ [1,+∞), we define the Müntz space Mp⋀ as the closed subspace of Lp([0, 1]) spanned by the monomials yn : t ↦ tλn. The space M∞⋀ is defined in the same way as a subspace of C([0, 1]). When the sequence (λn + 1/p)n is lacunary with a large ratio, we prove that the sequence of normalized Müntz monomials (gn) in Lp is (1 + ε)-isometric to the canonical basis of lp. In the case p = +∞, the monomials (yn) form a sequence which is (1 + ε)-isometric to the summing basis of c. These results are asymptotic refinements of a well known theorem for the lacunary sequences. On the other hand, for p ∈ [1, +∞), we investigate the Carleson measures for Müntz spaces, which are defined as the Borel measures μ on [0; 1) such that the embedding operator Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) is bounded. When ⋀ is lacunary, we prove that if the (gn) are uniformly bounded in Lp(μ), then for any q > p, the measure μ is a Carleson measure for Mq⋀. These questions are closely related to the behaviour of μ in the neighborhood of 1. Wealso find some geometric conditions about the behaviour of μ near the point 1 that ensure the compactness of Jμ,p, or its membership to some thiner operator ideals. More precisely, we estimate the approximation numbers of Jμ,p in the lacunary case and we even obtain some equivalents for particular lacunary sequences ⋀. At last, we show that the essentialnorm of the Cesàro-mean operator Γp : Lp → Lp coincides with its norm, which is p'. This result is also valid for the Cesàro sequence operator. We introduce some Müntz subspaces of the Cesàro function spaces Cesp, for p ∈ [1, +∞]. We show that the value of the essential norm of the multiplication operator TΨ is ∥Ψ∥∞ in the Cesàaro spaces. In the Müntz-Cesàrospaces, the essential norm of TΨ is equal to |Ψ(1)|.

Cette thèse est consacrée à des questions d'analyse en amont de la modélisation de structures arborescentes, comme le poumon humain. Plus particulièrement, nous portons notre intérêt sur une classe de domaines ramifiés du plan, dont la frontière comporte une partie fractale auto-similaire. Nous commençons par une étude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous étudions d'abord la régularité Sobolev de la trace sur la partie fractale de la frontière de fonctions appartenant à des espaces de Sobolev dans les domaines considérés. Nous étudions ensuite l'existence d'opérateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifiés. Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord à des définitions plus classiques de trace. Nous nous intéressons enfin à un problème de transmission mixte entre le domaine ramifié et le domaine extérieur. L'interface du problème est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche numérique, en approchant l'interface fractale par une interface préfractale. La stratégie proposée ici est basée sur le couplage d'une méthode auto-similaire pour la résolution du problème intérieur et d'une méthode intégrale pour la résolution du problème extérieur.

Nous nous intéressons aux opérateurs de Hankel $H_{bar{f}}$ de symbole anti holomorphe $bar{f}$ et regardons l'espace de Dixmier $mathcal{D}^{p}$ associé ($pgeq1$), c'est à dire l'ensemble des $f$ tel que $|H_{bar{f}}|^{p}$ soit dans l'idéal de Macaev $mathcal{S}^{+}_{1}$. Notre approche est de voir l'espace de Dixmier comme une certaine limite des classes de Schatten. Quand $f in mathcal{D}^{p}$, nous étudions $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ la trace de Dixmier de $|H_{bar{f}}|^{p}$. Nous redémontrons certains résultats classiques quand $f$ est holomorphe sur le disque alors que nous donnons de nouveaux résultats quand $f$ est entière. Nous utilisons notre méthode pour étudier l'espace de Dixmier du petit opérateur de Hankel, des opérateurs de Toeplitz $T_{varphi}$ ($varphi$ définie sur le disque ou sur le plan complexe tout entier) ainsi que pour l'opérateur de composition. / We study Hankel operators $H_{bar{f}}$ with anti holomorphic symbol $bar{f}$ and we are interested to the Dixmier space $mathcal{D}^{p}$ ($pgeq1$), the set of functions $f$ such that $|H_{bar{f}}|^{p} in mathcal{S}^{+}_{1}$ the Macaev ideal. We look Dixmier space as a limit of Schatten class. When $f in mathcal{D}^{p}$, we study $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ the Dixmier trace of $|H_{bar{f}}|^{p}$. We have different results when $f$ is an entire or a holomorphic function of the unit disk in the complex plan. We study also the Dixmier space of the little Hankel operator, Toeplitz operator and composition operator.

Ce mémoire constitue un travail de synthèse de nos travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles, notamment les équations non-linéaires de type parabolique. Les modèles traités ici sont issus principalement de la mécanique des fluides, de la géophysique, ou des bio-mathématiques ; dans d'autres cas les motivations viennent de la théorie des probabilités. On touchera ici aux questions centrales de l'existence, de l'unicité, ou de l'explosion en temps fini des solutions, qui occupent une place importante dans nos travaux, ainsi qu'à leur comportement asymptotique. C'est précisément l'étude de propriétés fines sur le comportement en temps long, ou sur le comportement à l'infini en variable d'espace sous de différentes perspectives (dissipation de l'énergie, croissance ou décroissance temporelle, profils asymptotiques, autosimilarité, diffusion spatiale, questions de localisation, etc.) qui représente notre contribution la plus importante. Les équations de Navier–Stokes constituent un défi remarquable pour toutes ces questions : en effet, il est rare que des techniques ou idées standards apportent des avancées vraiment significatives dans ce modèle. C'est pourquoi ces équations occupent une place privilégiée dans nos travaux. Le premier chapitre est donc consacré au système de Navier–Stokes, et le deuxième à d'autres modèles de la mécanique des fluides incompressibles (magnéto–hydrodynamique, système de Boussinesq, etc.) qui sont des généralisations assez naturelles de celui-ci. On insistera notamment sur l'étude de propriétés qualitatives des solutions qui sont spécifiques à chacun de ces modèles. Dans le troisième chapitre nous abordons le problème de la stabilité des écoulement stationnaires. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de l'autosimilarité : nous aurons alors l'opportunité de revenir sur les équations de Navier–Stokes, mais aussi d'introduire d'autres systèmes, et d'étudier une équation non-locale de convection avec diffusion non-standard. Dans le cinquième chapitre nous nous intéressons à deux modèles bien connus en chimiotactisme : nous y présentons nos travaux sur la convergence du système parabolique-parabolique de Keller–Segel vers le système parabolique–elliptique, ainsi qu'un théorème d'explosion. Dans le dernier chapitre nous illustrons les résultats de deux articles, dans lesquels nous apportons une contribution à l'analyse fonctionnelle et harmonique, sur des questions liées à la théorie des multiplicateurs dans les espaces de Sobolev, à la théorie de l'approximation et aux bases d'ondelettes. Ces deux contributions à l'Analyse, a priori assez indépendantes du reste de notre production, n'en sont pas complètement déconnectées. En effet de différentes techniques d'analyse harmonique apparaissent souvent dans nos démonstrations : l'analyse de Fourier classique d'abord (la méthode de Fourier splitting par exemple), qui conduit à des résultats souvent optimaux dans l'étude du comportement en temps long des solutions ; l'analyse de Littlewood–Paley est un outil puissant pour prouver des résultats d'existence ou d'unicité ; les espaces de Besov permettent non seulement de mesurer avec précision la régularité des solutions, mais ils peuvent également nous renseigner sur leur caractère oscillant. Nous avons aussi été amenés à développer certains aspects de la théorie des espaces à poids afin de résoudre un problème de localisation en magnéto-hydrodynamique. De plus, la plupart des modèles que nous avons étudiés ont une nature non locale : la perturbation d'une quantité dans une région de l'espace a des répercussions importantes sur le comportement du système entier, même à de grandes distances. Nous abordons l'étude de ces modèles en les réécrivant sous une forme pseudo-différentielle. Les applications de la théorie des intégrales singulières sont, alors, souvent décisives dans notre travail. Les sections 1.1.1 et 1.1.2 présentent des résultats directement issus de la thèse. Le chapitre 6 est lui aussi étroitement lié à la thèse, bien que les théorèmes qu'ils y sont présentés aient été ré-élaborés assez en profondeur. Le reste du chapitre 1 et les chapitres 2 à 5 contiennent nos résultats plus récents. Ces chapitres se terminent par une section illustrant des perspectives, ainsi que quelques pistes pour des recherches futures.

Cette thèse est consacrée à des questions d'analyse en amont de la modélisation de structures arborescentes, comme le poumon humain. Plus particulièrement, nous portons notre intérêt sur une classe de domaines ramifiés du plan, dont la frontière comporte une partie fractale auto-similaire. Nous commençons par une étude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous étudions d'abord la régularité Sobolev de la trace sur la partie fractale de la frontière de fonctions appartenant à des espaces de Sobolev dans les domaines considérés. Nous étudions ensuite l'existence d'opérateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifiés. Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord à des définitions plus classiques de trace. Nous nous intéressons enfin à un problème de transmission mixte entre le domaine ramifié et le domaine extérieur. L'interface du problème est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche numérique, en approchant l'interface fractale par une interface préfractale. La stratégie proposée ici est basée sur le couplage d'une méthode auto-similaire pour la résolution du problème intérieur et d'une méthode intégrale pour la résolution du problème extérieur. / We study some questions of analysis in view of the modeling of tree-like structures, such as the human lungs. More particularly, we focus on a class of planar ramified domains whose boundary contains a fractal self-similar part. We start by studying some function spaces defined for this class of domains. We first study the Sobolev regularity of the traces on the fractal part of the boundary of functions in some Sobolev spaces of the ramified domains. Then, we study the existence of Sobolev extension operators for the ramified domains we consider. Finally, we compare the notion of self-similar trace on the fractal part of the boundary with more classical definitions of trace. In the last part, we focus on a mixed transmission problem between the ramified domain and the exterior domain. The fractal part of the boundary is the interface of the problem. We propose a numerical approach where we approximate the self-similar interface by a prefractal interface. The proposed strategy is based on a self-similar method for the resolution of the inner problem coupled with an integral method for the resolution of the outer problem.

Les travaux de cette thèse relèvent du domaine de la théorie des opérateurs, et se situent à l'interface de l'analyse complexe, de la théorie des semi-groupes et de la théorie de l'universalité. Le premier résultat principal de cette thèse relève de l'étude des opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes : nous déterminons le spectre d'un opérateur de composition par un symbole de Koenigs sur l'espace des fonctions holomorphes sur le disque unité, et en déduisons des informations sur la forme générale du spectre des opérateurs de composition par un symbole de Koenigs sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes. L'outil principal que nous développons pour notre étude est une description des projections spectrales associées à ces opérateurs. Le second résultat principal de cette thèse relève de la théorie de l'universalité : nous étendons aux semi-groupes d'opérateurs la notion d'opérateur universel, et établissons l'existence d'un semi-groupe universel pour les semi-groupes quasi-contractifs en exhibant un semi-groupe sur un espace de fonctions holomorphes. Nous élargissons ensuite ce résultats aux semi-groupes d'opérateurs concaves / The works in this thesis address topics from operator theory and involves ideas and notions arising from complex analysis, the theory of operator semigroups and the theory of universality. The first main result of this thesis relates to the study of composition operators on spaces of holomorphic functions: we compute the spectrum of an operator of composition by a Koenigs's symbol acting on the space of holomorphic functions on the open unit disk, and derive from it the general description of the spectrum of composition operators on Banach spaces of holomorphic functions. The key tool we develop in this study is a description of spectral projections associated with such operators.The second main result of this thesis relates to the thoery of universality: we extend to operator semigroups the notion of universality. Then, we prove the existence of a universal semigroup for quasi-contractive operators semigroups. We then show a similar result for concave semigroups