Les développements asymptotiques topologiques n'ont pas encore été étudiés pour les équations elliptiques quasilinéaires. Cette question apparaît dans la perspective d'appliquer les méthodes d'asymptotique topologique en optimisation de forme aux équations non linéaires de l'élasticité comme en imagerie pour la détection d'ensembles de codimension $\geq 2$ (points en 2D ou courbes en 3D). Dans la Partie I, notre principal résultat réside dans l'obtention du développement asymptotique topologique pour une classe d'équations elliptiques quasilinéaires, perturbées dans des sous-domaines non vides. Le gradient topologique peut être décomposé en un terme linéaire classique et en un terme nouveau, qui rend compte de la non linéarité. L'étude des difficultés spécifiques qui apparaissent avec l'équation de p-Laplace, par comparaison avec l'équation de Laplace, montre qu'un point central réside dans la possibilité de définir la variation de l'état direct à l'échelle 1 dans R^N. Nous étudions en conséquence des espaces de Sobolev à poids et quotientés, dont la semi-norme est la somme des normes L^p et L^2 du gradient dans R^N. Puis nous construisons une classe d'équations elliptiques quasilinéaires, telle que le problème définissant l'état direct à l'échelle 1 vérifie une double propriété de p- et 2- ellipticité. La méthode se poursuit par l'étude du comportement asymptotique de la solution du problème d'interface non linéaire dans R^N et par une mise en dualité appropriée des états directs et adjoints aux différentes étapes d'approximation pour les variations de l'état direct. La Partie II traite d'estimations et de développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs, dont l'obstacle est d'intérieur vide et de codimension $\geq 2$. Après quelques résultats préliminaires, nous introduisons les condensateurs équidistants pour étudier le cas des segments. L'effet anisotrope engendré par un segment dans l'équation de p-Laplace est tel que l'inégalité de réarrangement de Pólya-Szegö pour les intégrales de type Dirichlet fournit un minorant trivial. De plus, quand p > N, on ne peut construire par extension une solution admissible pour le segment, aussi petite sa longueur soit-elle, à partir du cas du point. Nous établissons une minoration de la p-capacité N-dimensionnelle d'un segment, qui fait intervenir les p-capacités d'un point, respectivement en dimensions N et (N−1). Les cas de positivité de la p-capacité s'en déduisent. Notre méthode peut être étendue à des obstacles de dimensions supérieures et de codimension $\geq 2$. Introduisant les condensateurs elliptiques, nous montrons que le gradient topologique de la 2-capacité n'est pas un outil approprié pour distinguer les courbes et les obstacles d'intérieur non vide en 2D. Une solution pourrait être de choisir différentes valeurs de p ou bien de considérer le développement asymptotique à l'ordre 2, i.e. la hessienne topologique.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00852384 |
| Date | 16 July 2013 |
| Creators | Bonnafé, Alain |
| Publisher | INSA de Toulouse |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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