L'objet de ce travail de thèse est l'étude théorique et numérique des quelques problèmes relevants de l'analyse et de la modélisation de forme. Les problèmes considérés sont issus d'applications modernes comme la modélisation de décollement de membrane par mouvements minimisants, des inégalités isopérimétriques et de traitement d'image. Analyse et optimisation de formes des valeurs propres de l'opérateur de conductivité. Dans un ouvert de mesure finie on considère le Laplacian avec conditions aux bord de type conductivité, i.e. Constantes localement ou globalement, avec constantes libres. Cet opérateur intervient dans le processus de détection de défauts par mesures au bord et a fait l'objet d'une première analyse par Greco et Lucia dans le cadre globalement constant. Nous étudions des propriétés qualitatives des valeurs propres en relation avec la géométrie, des inégalités isopérimétriques générales par réarrangement et/ou [gamma]-convergence, et nous implémentons un algorithme génétique pour déterminer les formes minimisantes pour les valeurs propres d'ordre petit, à mesure constante, La génération des formes est basée sur les niveaux des séries de Fourier tronquées, contrôlées par les coefficients. Simulation numérique du décollement d'un membrane. On étudie le modèle de décollement d'une membrane adhésive proposé par Bucur, Buttazzo et Lux, dans le cadre des mouvements minimisantes quasi-statiques. Suivant la dissipation de l'énergie, le décollement consiste en une évolution de domaines ou une évolution de mesures. Mon travail a consisté dans la simulation associées à des stratégies évolutionnaires en relation avec la dérivée de forme, méthodes des lignes de niveaux et la dérivation des mesures. Etude numérique du problème de localisation optimale. Nous nous intéressons à l'analyse numérique des différents problèmes de localisation optimale tels que le problème de chois optimal des pixels d'appui pour l'interpolation d'image ou la minimisation de la compliance (cadre linéaire ou non linéaire). Différentes méthodes sont utilisées, tels que le gradient topologique, les algorithmes génétiques et le calcul asymptotique par [gamma]-convergence / We are interested in a few problems which can be viewed in the framework of shape optimization like : the conductivity eigenvalue problem. In an open set of finite measure we considers the Laplacian with conductivity boundary conditions, i.e., constants locally or globally with free constants. The operator intervenes in the process of the defect identication of a material by electrostatic boundary measurements and was the subject of a first properties of the eigenvalues in relation with the geometry, general isoperimetric inequalities by rearrangement and/or [gamma]-convergence, and we implement a genetic with constant measure. The generation of the forms is based on the levels of truncated Fourier series, controlled by the coefficeints. Numerical implementation for debonding membranes. We study the model of quasistatic evolution of an adhesive membrane subjected to a debonding force proposed by Bucur, Buttazzo and Lux, within the framwork of the minimizing movements. According to the dissipation of energy the debonding process consisted in the numerical simulation of the debonding process in the two situations. Methods of descent are associated with the evolution strategies in relation to the shape derivative ; level set method and the mesure derivation. Numerical results for a few problem of optimal location. We are interested in the numeraical analysis of the various problems of optimal location such as the problem of best alternative of the pixels of support for the image interpolation or minimization of compliance (framework linear and not linear). Various methods are used, such as the topological gradient, the genetic algorithms and asymptotic calculation by [gamma]-convergence

Dans le contexte de l'optimisation de formes par la mé́thode des courbes de niveaux, nous nous inté́ressons à certains nouveaux problèmes : l'optimisation de valeurs propres multiples, l'optimisation de la compliance robuste et l'optimisation du critère de flambement. Nous ré́solvons aussi deux importants problèmes numériques par le couplage avec le gradient topologique et la m ́thode de régularisation de la vitesse. Nous proposons aussi dans cette thèse un chapitre destiné à montrer les probèmes numériques propres à la méthode des courbes de niveaux et nous montrons les "trucs" numériques utilisés pour résoudre ces problèmes.

Ce document présente une synthèse de mes principaux travaux de recherche effectués jusqu'à ce jour. Ils portent essentiellement sur l'analyse de sensibilité topologique et ses applications en optimisation et reconstruction de formes. Cette technique récente consiste à étudier la sensibilité d'une fonctionnelle dépendant d'un domaine par rapport à une perturbation infinitésimale de la topologie de ce dernier, comme typiquement la nucléation d'un trou. La notion de dérivée topologique, ou gradient topologique, qui en découle peut alors être utilisée de différentes manières dans des algorithmes d'optimisation de formes afin de générer des modification de topologie. Sont abordés les aspects analytiques, algorithmiques, ainsi que divers exemples d'applications parmi lesquels l'optimisation de structures élastiques, l'optimisation d'écoulements incompressibles ou encore la détection de défauts géométriques.

L’optimisation de formes de structures mécaniques est de nos jours incontournable dans l’industrie mécanique (automobile, aéronautique etc.). Pour rester dans la compétition mondiale, les entreprises se doivent de concevoir des structures qui, en plus de respecter des performances mécaniques précises, doivent être moins couteuses avec des délais de plus en plus courts. Les ingénieurs doivent alors réaliser des formes pour leurs structures qui soient un meilleur compromis entre les performances mécaniques et fonctionnelles, le poids, le coût de fabrication etc. Dans ce manuscrit, nous proposons une démarche d’intégration de l’optimisation de formes de structures dans un processus de conception fonctionnelle d'un point de vue méthodologique. Elle a pour avantages de prendre en compte l’intégration des connaissances métiers nécessaires à la conception de la structure dans le processus d’optimisation. Ce processus ne peut être appliqué de manière efficace que si l’on maitrise les fondamentaux de l’optimisation, ce qui nous a conduit dans un premier temps à faire un point sur l’état de l’art en optimisation de formes en général, en présentant les algorithmes mis en jeux dans les différentes disciplines à disposition des ingénieurs. Notre proposition de processus d’optimisation a été complétée par des arbres de décision, permettant à l’ingénieur de faire des choix en fonction des problèmes d’optimisation dans les métiers de la fonderie, de la plasturgie et de l’emboutissage. Ce processus d’optimisation intégré à une démarche de conception fonctionnelle sera illustré par des exemples industriels nous permettant de valider notre proposition et de montrer l’efficacité des choix issus des arbres de décision. / Engineering design optimization of mechanical structures is nowadays essential in the mechanical industry (automotive, aeronautics etc.). To remain competitive in the globalized world, companies need to create and design structures that in addition to complying specific mechanical performance should be less expensive with short production time. Engineers must then realize forms and shapes that are a better compromise, between mechanical and functional performance, weight, manufacturing costs etc. In this manuscript, we propose an integration of optimization process in a functional process design of a methodological point of view. It has the advantage of taking into account the integration of business knowledge needed to design the structures in the optimization process. The process can’t be properly applied only if we master the fundamentals of the optimization. This led us in a first time, to talk about the engineering design optimization of mechanical structures in general, and the algorithms used in the different disciplines available to engineers. Our proposed optimization process was completed by decision trees that allowed the engineers to make choices based on their optimization problems in foundry, plastics and stamping companies. This optimization process integrated with a functional design approach will be illustrated with industrial examples that allow us to validate our proposal and demonstrate the effectiveness of the choices from decision trees.

Dans cette thèse, nous nous demandons si certaines formes présentes dans la nature résultent de l'optimisation d'un critère. Plus précisément, nous considérons un organe ou une partie du corps humain et tentons de deviner un critère que la nature aurait pu chercher à optimiser. Nous résolvons alors le problème d'optimisation de formes résultant afin de comparer la forme obtenue, théoriquement ou numériquement, avec la forme réelle de l'organe. Si ces deux formes sont proches, on pourra en déduire que le critère est convaincant. Dans la première partie de cette thèse, nous considérons l'exemple d'une fibre nerveuse de type axone ou dendrite. Nous proposons deux critères pour expliquer sa forme. Le premier traduit l'atténuation dans le temps du message électrique traversant la fibre et le second l'atténuation dans l'espace de ce message. Dans notre choix de modélisation, nous distinguons deux types de fibres nerveuses : celles qui sont connectées au noyau de la cellule et celles qui sont connectées entre elles. Les problèmes correspondants se ramènent à la minimisation par rapport au domaine des valeurs propres d'un opérateur elliptique et d'une fonction de transfert faisant intervenir la trace sur le bord du domaine du potentiel électrique au sein de la fibre. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'optimisation de la forme d'un arbre bronchique ou d'une partie de cet arbre. Nous considérons un critère de type << énergie dissipée >>. Dans une étude théorique, nous prouvons tout d'abord que le cylindre n'est pas une conduite optimale pour minimiser l'énergie dissipée par un fluide newtonien incompressible satisfaisant aux équations de Navier-Stokes. Nous effectuons ensuite des simulations en deux et trois dimensions afin de tester numériquement si l'arbre bronchique est ou non optimal. / In this Ph.D thesis, we wonder whether some shapes observed in Nature could follow from the optimization of a criterion. More precisely, we consider an organ or a part of the human body and we try to guess a criterion that Nature could have tried to optimize. Then, we solve the resulting shape optimization problem in order to compare the shape obtained by a theoretical or a numerical way with the real shape of the organ. If these two shapes are similar, it may be deduced that the criterion is relevant. In the first part of this thesis, we consider the example of a nerve fiber of an axon or a dendrite kind. We propose two criterions to explain its shape. The first one stands for the attenuation throughout the time of the electrical message and the second one stands for the attenuation throughout the space of that message. In our choice of modeling, we distinguish two sorts of nerve fibers: these connected to the nucleus of the cell and these connected with two other fibers. The corresponding problems boil down to the minimization with respect to the domain of the eigenvalues of an elliptic operator and of a transfer function expressed with the trace of the electrical potential in the fiber on the boundary of the domain. The second part of this thesis is devoted to optimization of the shape of a bronchial tree or a part of that tree. We consider as a criterion the ``dissipated energy''. In a theoretical study, we foremost prove that the cylinder is not an optimal pipe to minimize energy dissipated by a newtonian incompressible fluid driven by a Navier Stokes system. Afterwards, we propose two and three dimensional simulations to verify numericaly if the bronchial tree is or not optimal.

Dans le contexte de l'optimisation de formes par la méthode des courbes de niveaux, nous nous intéressons à certains nouveaux problèmes : l'optimisation de valeurs propres multiples, l'optimisation de la compliance robuste et l'optimisation du critère de flambement. Nous résolvons aussi deux importants problèmes numériques par le couplage avec le gradient topologique et la méthode de régularisation de la vitesse. Nous proposons aussi dans cette thèse un chapitre destiné à montrer les problèmes numériques propres à la méthode des courbes de niveaux et nous montrons les “trucs” numériques utilisés pour résoudre ces problèmes.

La dérivée topologique évaluée pour une fonctionnelle d'énergie définie dans un domaine et dépendante d'une solution d'un problème aux limites, est l'outil principal de l'optimisation de formes. Elle représente le taux de variation de la fonctionnelle d'énergie quand le domaine est modifié par une création de trou. La forme de la dérivée topologique est fournie par une analyse asymptotique d'un problème aux dérivées partielles et d'une fonctionnelle d'énergie. La définition de la dérivée topologique a été introduite dans [4] et [5]. Quelques notions d'analyse asymptotique qui permetent d'évaluer la forme de la dérivée topologique, ont été évoquées dans [2], [3]. Une méthode numérique pour calculer la solution du problème d'optimisation de forme, utilisant la dérivée topologique et la méthode des courbes de niveaux (levelset) a été présentée dans [1]. L'objet de ce travail de thèse est de développer des méthodes pour déterminer la dérivée topologique. Dans la première partie, on fait l'analyse d'un problème elliptique d'équation aux dérivées partielles non-linéaire. On commence par l'approximation de la solution du problème aux limites et ensuite on obtient le développement asymptotique d'une fonctionnelle de forme, dont le terme de premier ordre est la dérivée topologique. Par la suite, on considère une approximation numérique de la dérivée topologique en utilisant une méthode d'éléments finis et on démontre sa convergence. Les résultats théoriques sont illustrés par les calculs numériques. Dans la deuxième partie, on adapte la méthode de courbes de niveau à un problème d'optimisation de formes et de topologie. On applique la dérivée topolo- gique trouvée dans la première parie pour trouver l'endroit de modification du domaine afin de minimiser une fonctionnelle de coût. Dans la troisième partie, on considère le système de l'élasticité défini dans un domaine avec une fissure. Dans ce cas, on regarde le comportement asymptotique de la solution et de la fonctionnelle d'énergie par rapport aux perturbations singulières du domaine géométrique. Dans ce chapitre la dérivée topologique de l'énergie est donnée pour des domaine fissurés en dimension deux et trois. / The dissertation concerns numerical methods of shape optimization for nonlinear elliptic boundary value problems. Two classes of equations are considered. The first class are semilinear elliptic equations. The second class are elasticity problems in domains weakened by nonlinear cracks. The method proposed in the dissertation is known for linear problems. The framework includes the topological derivatives [2]-[5], and the levelset method [1]. It is shown, that the method can be applied in order to find numerical solutions for the shape optimization problems in the case of nonlinear elliptic equations. There are three parts of the dissertation. In the first part the topological derivatives for semilinear elliptic equation are determined by the compound asymptotic expansions. The expansion of solutions with respect to the small parameter which describes the size of the hole or cavity created in the domain of integration is established and justified. There are two problems considered in details. The first problem in three spatial dimensions with the Dirichlet boundary conditions on the hole. The complete proof of asymptotic expansion of the solution in the weighted Holder spaces is given. The order of the remainder is established by the Banach fixed point theorem in the weighted Holder spaces. The expansion of the solution is plug into the shape functional, and the first order term with respect to small parameter, is obtained. The second boundary value problem in two spatial dimensions enjoys the Neumann boundary conditions on the hole. The numerical results for the topological derivatives are given in twwo spatial dimensions by the finite element method combined with the Newton method for the nonlinear problems. The error estimates for the finite element method are also established. In the second part numerical method of shape optimization is proposed , justified and tested for a semilinear elliptic problem in two spatial dimensions. The forms of the shape gradient and of the topological derivative for the tracking type shape functional are given. The existence of an optimal domain under standard assumptions on the family of admissible domains is shown. Finally, numerical results are presented, which confirm the efficiency of the proposed method. In the third part of dissertation the elasticity boundary value problems in a body weakened by cracks is introduced. The variational formulations of the problem are recalled, including the smooth domain formulation. The domain decomposition method with the Steklov-Poincaré operator is analysed, with respect to the singular perturbation by creation of a small opening. The difficulty of the analysis is due to the fact that there are nonpenetration conditions prescribed on the crack lips, which make the problem nonlinear. The asymptotics of the energy functional are introduced and justified. As a result, the form of the topological derivative of the energy functional is obtained.

Ce travail porte sur les problèmes de régularités en optimisation de forme. Précisément nous étudions la régularité d'un ouvert qui minimise l'énergie du problème de Dirichlet pour le Laplacien parmi tous les ouverts de mesure fixée inclus dans un grand ouvert (par exemple l'espace tout entier). La première étape consiste à regarder la régularité de la fonction d'état optimale (la solution du problème de Dirichlet sur l'ouvert minimal): on montre que, là où elle garde un signe constant, elle est localement lipschitzienne (dans tout l'espace et pas seulement dans l'ouvert optimal). La deuxième étape consiste à étudier la régularité du bord de l'ouvert optimal. Si la fonction d'état est lipschitzienne, on montre que cet ouvert est à périmètre fini. On peut également montré que, là où le terme source est positif, le Laplacien de la fonction d'état est égal, sur le bord de l'ouvert optimal, à une constante multipliée par la mesure de Hausdorff du bord. Cette constante est un multiplicateur de Lagrange dans une équation d'Euler-Lagrange. De manière formelle, cela signifie que la dérivée normale de la fonction d'état est constante sur le bord. Ceci est bien le résultat attendu: si on suppose que l'ouvert optimal est régulier, on le retrouve facilement. On peut enfin déduire de cela que, loin du support du terme source, la frontière de l'ouvert optimal est, en dehors d'un ensemble négligeable, une hypersurface analytique.

Notre contribution concerne les trois domaines complémentaires suivants: la différentiation automatique de programmes, l'optimisation de formes pour de grands systèmes, l'adaptation de maillages. Dans le chapitre 1 de la partie 1, nous exposons une méthode de calcul de gradients par Différentiation Automatique pour un problème classique d'optimisation de formes. Nous expliquons comment déduire un gradient exact basé sur un état adjoint sans stocker explicitement le jacobien. Le mode adjoint de la DA que nous proposons utilise beaucoup moins d'espace mémoire. Dans le chapitre 2 de la partie 2, nous proposons une méthode de type SQP pour résoudre une classe de problèmes d'optimisation avec contraintes égalités. Le nouvel algorithme permet une résolution simultanée du système d'optimalité. Cette méthode one shot combine efficacité et robustesse. Dans le chapitre 3 de la partie 2, nous étudions une nouvelle stratégie de préconditionnement pour l'optimisation de formes. Nous construisons un préconditionnement multiniveau additif à partir du principe classique de Bramble-Pasciak-Xu et du principe d'agglomération. Nous spécifions aisément le gain en régularité de notre préconditionneur avec un seul paramètre réel. Dans le chapitre 1 de la partie 3, nous étudions le problème du meilleur maillage adapté pour de l'interpolation pure. La résolution du système d'optimalité donne une expression complètement explicite de la métrique optimale en fonction de la fonction à adapter. Dans le chapitre 2 de la partie 3, nous étendons la méthode du chapitre précédent au problème de l'adaptation de maillage pour EDP. Notre méthode repose sur une analyse a priori rigoureuse puis sur une modélisation.

Dans le domaine du radar aéroporté, les enjeux industriels actuels sont nombreux et portent,entre autres, sur l'établissement de profils distance de cibles aériennes, terrestres et maritimes pour leur identification. Cela implique en particulier la mise en oeuvre de chaînes d'émission/réception pour des modes de fonctionnement haute résolution. Dans ce contexte, les problématiques à traiter comprennent alors la conception et l'analyse de performances de détecteurs pour des modèles de cibles étendues, la conception de formes d'ondes multi-résolutions et le développement des traitements associés, l'optimisation de formes d'onde robustes au fouillis, etc. Le travail de cette thèse, qui s'intègre dans ce cadre, se décompose en deux parties. Dans un premier temps, nous traitons la détection d'une cible dite "étendue", c'est-à-dire caractérisée par plusieurs réflecteurs élémentaires prépondérants répartis sur plusieurs cases distance non nécessairement consécutives. Ce modèle est notamment approprié lorsque la résolution en distance est suffisamment fine, et s'intègre dans les problématiques d'identification de cible. Dans ce cadre, nous étudions un test de détection fondé sur le rapport de vraisemblances généralisé (GLRT) intégrant la localisation inconnue des réflecteurs, et lorsque la perturbation est du bruit blanc gaussien. En utilisant des résultats issus des statistiques d'ordre, nous déduisons des approximations de la probabilité de fausse alarme et de la probabilité de détection. Des comparaisons numériques avec des détecteurs existants sont fournies. Dans un second temps, nous étudions une forme d'onde correspondant à un train d'impulsions contenant deux codes de phase, l'un intra impulsion et l'autre inter impulsion. Pour un modèle de cible ponctuelle et un fouillis gaussien, nous proposons de sélectionner ces codes en tenant compte de différents critères tels que la maximisation de la probabilité de détection ou encore la minimisation des lobes secondaires du signal reçu après traitement. Pour un type donné de fouillis modélisé par un processus autorégressif (AR), nous abordons le problème d'optimisation multi-objectifs en utilisant les fronts de Pareto. La modélisation AR permettant de considérer plusieurs types de fouillis à partir d'un nombre réduit de paramètres, nous étudions alors la robustesse des codes de phase optimaux à des variations de fouillis. / In the field of airborne radar, one of the current industrial stakes, among others, is the identification of a target, whether airborne, terrestrial or maritime, through the establishment of its range profile. This implies to set up a transmit/receive processing for high resolution modes. In this context, the issues to be addressed include the design and the performance analysis of detectors for extended target models, the design of multi-resolution waveforms and the associated processing, the optimization of waveforms that are robust to clutter, etc. Within this frame, the work of this thesis is twofold. The first part deals with the detection of a so-called "extended" target, i.e. which is characterized by a few main scatterers spread over several range gates not necessarily consecutive. This model is appropriate when the range resolution is thin enough and it is suited for target identification issues. In this context, we study a detection test based on the generalized likelihood test (GLRT) which includes the unknown locations of the scatterers, and when the disturbance is white Gaussian noise. By using ordered statistics, we deduce approximations of the probability of false alarm and the probability of detection. Numerical comparison with existing detectors are also provided. Secondly, we study a waveform based on a pulse train which contains two phase codes: the first one is intrapulse whereas the second one is interpulse. Assuming a point target and Gaussian clutter, we propose to select these codes taking into account several criteria such as the maximization of the probability of detection or the minimization of the sidelobes of the received signal after processing. For a given type of clutter modeled by an autoregressive (AR) process, we address this multi-objective optimization problem using the Pareto fronts. Since the AR modeling makes it possible to consider several types of clutter from a reduced number of parameters, we study the robustness of optimal phase codes to clutter variations.