The first part of this thesis is devoted to symmetrizations. Symmetrizations are tranformations of functions that preserve many properties of functions and enhance their symmetry. In the calculus of variation they are a simple and powerful tool to prove that minimizers of functionals are symmetric functions. In this work, the approximation of symmetrizations by simpler symmetrizations is investigated: The existence of a universal approximating sequence is proved, sufficient conditions for deterministic and random sequences to be approximating are given. These approximation methods are then used to prove some symmetry properties of critical points obtained by minimax methods: For example if there is a solution obtained by the mountain pass theorem, then there is a symmetric solution with the same energy. This part ends with a study of the properties of anisotropic symmetrizations i.e. symmetrizations performed with respect to noneuclidean norms.
The second part is devoted to L^1 estimates. In general, the second derivative of the solution of the Poisson equation with L^1 data fails to be in L^1. Recently it was proved that if the data is a L^1 divergence-free vector-field, then even if in general it is false that the second derivative of the solution is in L^1, all the consequences thereof by Sobolev embeddings hold. Elementary proofs of such results, as well as a generalization with a second order operator replacing the divergence, are given. / La première partie de cette thèse est consacrée aux symétrisations. Les symétrisations sont des transformations de fonctions qui préservent de nombreuses propriétés des fonctions et qui améliorent leur symétrie. Elles sont un outil simple et puissant pour montrer dans le calcul des variations que les minimiseurs de certaines fonctionnelles sont des fonctions symétriques. Dans ce travail, nous étudions l'approximation des symétrisations par des symétrisations plus simples. Nous prouvons l'existence d'une suite approximante universelle et nous donnons des conditions suffisantes pour que des suites déterministes et aléatoires soient approximantes. Nous utilisons ensuite ces méthodes d'approximation pour prouver des propriétés de symétrie de points critiques obtenus par des méthodes de minimax. Par exemple, s'il y a une solution obtenue par le théorème du col, alors il y a une solution symétrique de même énergie. Nous achevons cette partie par une étude des symétrisations anisotropes (symétrisations par rapport à des normes non euclidiennes).
La seconde partie est consacrée aux estimations L^1. En général, les dérivées secondes de la solution de l'équation de Poisson avec des données L^1 ne sont pas dans L^1. Recemment, on a prouvé que si les données sont un champ de vecteurs L^1 à divergence nulle, même si en général les dérivées secondes ne sont toujours pas dans L^1, toutes les conséquences qui en suivraient par les injections de Sobolev sont vraies. Nous donnons des preuves élémentaires de ces résultats, avec une extension où la divergence est remplacée par un opérateur différentiel du second ordre.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:BICfB/oai:ucl.ac.be:ETDUCL:BelnUcetd-04212005-124536 |
| Date | 19 May 2005 |
| Creators | Van Schaftingen, Jean |
| Publisher | Universite catholique de Louvain |
| Source Sets | Bibliothèque interuniversitaire de la Communauté française de Belgique |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | text |
| Format | application/pdf |
| Source | http://edoc.bib.ucl.ac.be:81/ETD-db/collection/available/BelnUcetd-04212005-124536/ |
| Rights | unrestricted, J'accepte que le texte de la thèse (ci-après l'oeuvre), sous réserve des parties couvertes par la confidentialité, soit publié dans le recueil électronique des thèses UCL. A cette fin, je donne licence à l'UCL : - le droit de fixer et de reproduire l'oeuvre sur support électronique : logiciel ETD/db - le droit de communiquer l'oeuvre au public Cette licence, gratuite et non exclusive, est valable pour toute la durée de la propriété littéraire et artistique, y compris ses éventuelles prolongations, et pour le monde entier. Je conserve tous les autres droits pour la reproduction et la communication de la thèse, ainsi que le droit de l'utiliser dans de futurs travaux. Je certifie avoir obtenu, conformément à la législation sur le droit d'auteur et aux exigences du droit à l'image, toutes les autorisations nécessaires à la reproduction dans ma thèse d'images, de textes, et/ou de toute oeuvre protégés par le droit d'auteur, et avoir obtenu les autorisations nécessaires à leur communication à des tiers. Au cas où un tiers est titulaire d'un droit de propriété intellectuelle sur tout ou partie de ma thèse, je certifie avoir obtenu son autorisation écrite pour l'exercice des droits mentionnés ci-dessus. |
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