In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen
b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird
dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura-
Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung
stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational
invariant sind.
Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen
Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren
unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad
als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die
Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der
nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und
wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser
Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische
Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir
konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov-
Körpern in Beziehung.
Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten
und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter
geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr
Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses
Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte
über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen
definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses
Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten
Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des
Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung
der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das
Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen.
Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen
vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe
zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und
wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen
Kompaktifizierung Vorteile bietet. / In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on
toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting
to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non-
compact type. The tools available until now do not define numerical invariants
which are birationally invariant.
First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion
of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b-
divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex
set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef
toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we
give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes
classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we
relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies.
Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability
notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions
toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral
with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures
whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con-
ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this
limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This
relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex-
plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two
convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection
numbers.
Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi
forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup
of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it
is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one
canonical compactification.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/18811 |
| Date | 11 August 2017 |
| Creators | Botero, Ana María |
| Contributors | Kramer, Jürg, De Jong, Robin, Burgos Gil, José Ignacio |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | CC0 1.0 Universell, http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/ |
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