In the thesis at hand, several sequences of number theoretic interest will be studied in the context of uniform distribution modulo one. <br>
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In the first part we deduce for positive and real \(z\not=1\) a discrepancy estimate for the sequence \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \),
where \(\gamma_a\) runs through the positive imaginary parts of the nontrivial \(a\)-points of the Riemann zeta-function. If the considered imaginary
parts are bounded by \(T\), the discrepancy of the sequence \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \) tends to zero like
\( (\log\log\log T)^{-1} \) as \(T\rightarrow \infty\). The proof is related to the proof of Hlawka, who determined a discrepancy estimate for the
sequence containing the positive imaginary parts of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function. <br>
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The second part of this thesis is about a sequence whose asymptotic behaviour is motivated by the sequence of primes. If \( \alpha\not=0\) is real
and \(f\) is a function of logarithmic growth, we specify several conditions such that the sequence \( (\alpha f(q_n)) \) is uniformly distributed
modulo one. The corresponding discrepancy estimates will be stated. The sequence \( (q_n)\) of real numbers is strictly increasing and the conditions
on its counting function \( Q(x)=\#\lbrace q_n \leq x \rbrace \) are satisfied by primes and primes in arithmetic progessions. As an application we
obtain that the sequence \( \left( (\log q_n)^K\right)\) is uniformly distributed modulo one for arbitrary \(K>1\), if the \(q_n\) are primes or primes
in arithmetic progessions. The special case that \(q_n\) equals the \(\textit{n}\)th prime number \(p_n\) was studied by Too, Goto and Kano. <br>
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In the last part of this thesis we study for irrational \(\alpha\) the sequence \( (\alpha p_n)\) of irrational multiples of primes in the context of
weighted uniform distribution modulo one. A result of Vinogradov concerning exponential sums states that this sequence is uniformly distributed modulo one.
An alternative proof due to Vaaler uses L-functions. We extend this approach in the context of the Selberg class with polynomial Euler product. By doing so, we obtain
two weighted versions of Vinogradov's result: The sequence \( (\alpha p_n)\) is \( (1+\chi_{D}(p_n))\log p_n\)-uniformly distributed modulo one, where
\( \chi_D\) denotes the Legendre-Kronecker character. In the proof we use the Dedekind zeta-function of the quadratic number field \( \Bbb Q (\sqrt{D})\).
As an application we obtain in case of \(D=-1\), that \( (\alpha p_n)\) is uniformly distributed modulo one, if the considered primes are congruent to
one modulo four. Assuming additional conditions on the functions from the Selberg class we prove that the sequence \( (\alpha p_n) \) is also
\( (\sum_{j=1}^{\nu_F}{\alpha_j(p_n)})\log p_n\)-uniformly distributed modulo one, where the weights are related to the Euler product of the function. / In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene zahlentheoretisch interessante Folgen im Kontext der Theorie der Gleichverteilung modulo eins untersucht. <br>
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Im ersten Teil wird für positiv reelles \( z\not = 1\) für die Folge \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \) eine Diskrepanzabschätzung hergeleitet,
wobei \( \gamma_a\) die positiven Imaginärteile der nichttrivialen \(a\)-Stellen der Riemannschen Zetafunktion durchlaufe: Sind die eingehenden Imaginäteile
durch \(T\) beschränkt, dann strebt für \(T\rightarrow \infty\) die Diskrepanz der Folge \( \left((2\pi )^{-1}(\log z)\gamma_a\right) \) wie
\( (\log\log\log T)^{-1}\) gegen Null. Der Beweis knüpft an das Vorgehen von Hlawka an, welcher eine Diskrepanzabschätzung für die Folge, in der die
positiven Imaginärteile der nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion eingehen, ermittelte. <br>
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Der zweite Teil der Arbeit widmet sich einer Folge deren Wachstumsverhalten durch Primzahlen motiviert ist. Ist \(\alpha\not = 0\) reell und \(f\) eine
logarithmisch wachsende Funktion, dann werden mehrere Bedingungen an \(f\) angegeben, unter denen die Folge \( (\alpha f(q_n)) \) gleichverteilt modulo eins
ist. Entsprechende Diskrepanzabschätzungen der Folgen werden angegeben. Die Folge reeller Zahlen \( (q_n) \) ist selbst streng wachsend und die Bedingungen,
die dabei an deren Zählfunktion \(Q(x)=\#\lbrace q_n \leq x \rbrace\) gestellt werden, sind von Primzahlen und Primzahlen in arithmetischen Progressionen
erfällt. Als Anwendung ergibt sich, dass die Folge \( \left( (\log q_n)^K\right) \) für beliebiges \(K>1\) gleichverteilt modulo eins ist, etwa wenn die
\(q_n\) Primzahlen oder Primzahlen in arithmetischen Progessionen durchlaufen. Der Spezialfall das \(q_n\) als die \(n\)te Primzahl \(p_n\) gewählt wird,
wurde von Too, Goto und Kano untersucht. <br>
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Im letzten Teil der Arbeit wird für irrationales \(\alpha\) die Folge \( (\alpha p_n) \) irrationaler Vielfacher von Primzahlen im Rahmen der gewichteten
Gleichverteilung modulo eins untersucht. Nach einem Resultat von Vinogradov über Exponentialsummen ist diese Folge gleichverteilt modulo eins. Ein
alternativer Beweis von Vaaler verwendet L-Funktionen. Dieser Ansatz wird im Kontext von Funktionen aus der Selberg-Klasse mit polynomiellem Eulerprodukt
ausgebaut. Dabei werden zwei gewichtete Versionen des vinogradovschen Resultats gewonnen: Die Folge \( (\alpha p_n) \) ist
\( (1+\chi_{D}(p_n))\log p_n\)-gleichverteilt modulo eins, wobei \(\chi_{D}\) den Legendre-Kronecker Charakter bezeichnet. Der Beweis verwendet die
Dedekindsche Zetafunktion zum quadratischen Zahlkörper \(\Bbb Q (\sqrt{D})\). Als Anwendung ergibt sich etwa für \(D=-1\), dass \( (\alpha p_n) \)
gleichverteilt modulo eins ist, wenn die durchlaufenen Primzahlen kongruent zu eins modulo vier sind. Unter zusätzlichen Bedingungen an die Funktionen aus
der Selberg-Klasse lässt sich weiter zeigen, das die Folge \( (\alpha p_n) \) auch \( (\sum_{j=1}^{\nu_F}{\alpha_j(p_n)})\log p_n\)-gleichverteilt modulo
eins, wobei die Gewichte in direktem Zusammenhang mit dem Eulerprodukt der Funktion stehen.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uni-wuerzburg.de/oai:opus.bibliothek.uni-wuerzburg.de:20925 |
| Date | January 2020 |
| Creators | Rehberg, Martin |
| Source Sets | University of Würzburg |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralthesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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