El objetivo de la presente memoria es proponer un nuevo método para resolver una clase
general de problemas de optimización, a saber, dado un conjunto convexo y abierto , una
función diferenciable , una matriz de rango completo (con ) y un vector , buscamos resolver
algorítmicamente el problema:
(P0) min{ f(x) : x ∈ clC, Ax = b}.
Para esto, tomamos herramientas de la Geometría Riemanniana, las mezclamos con
el método de máximo descenso y nos preguntamos qué sucede si miramos este algoritmo
bajo la lupa de otra métrica, una no necesariamente Euclideana. Si bien la idea de usar
métricas variables para resolver este tipo de problemas no es nueva, nuestro trabajo sí lo
es, pues nos interesamos en una en particular, una que es inducida por el cuadrado de
la matriz Hessiana de una cierta función barrera cuyo dominio coincide con . Esta métrica
tiene la gran gracia de proveernos de una isometría, fácil de calcular, entre el conjunto ,
visto como variedad, y un espacio Euclideano apropiado.
En el capítulo 1 de esta memoria damos una descripción introductoria de las
herramientas de la Geometría Riemanniana que usamos para desarrollar nuestra teoría. En
el capítulo 2 definimos formalmente la Métrica Hessiana Cuadrada de Legendre sobre
un dominio convexo. Estudiamos también sus principales propiedades y consecuencias.
En el capítulo 3 introducimos un nuevo método de optimización para resolver de forma
algorítmica un problema más simple que el de minimizar la función sólo sobre la adherencia
del conjunto . También introducimos una nueva noción de dualidad y presentamos algunos
teoremas de convergencia. En el capítulo 4 generalizamos este método, con el fin de
resolver algorítmicamente el problema . Por otra parte, en el capítulo 5 abordamos la
pregunta de en qué casos nuestra métrica coincide con la inducida por la Hessiana de otra
función barrera. Primeramente, planteamos el problema para el caso separable, obteniendo
condiciones necesarias y suficientes, para luego pasar a un caso más general, donde sólo
obtuvimos una condición necesaria. Finalmente, usando este criterio mostramos que el
problema es en realidad muy restrictivo respecto al conjunto , lo cual nos hace conjeturar
que esta pregunta no es fácil de responder y que la respuesta es en general negativa.
Cabe destacar que la noción de dualidad que aquí introducimos crea un lazo entre
las propiedades de carácter Riemanniano y las de carácter Euclideano, en particular,
permite transformar problemas no convexos en otros que sí lo son. Más aún, esta noción
nos muestra que es posible resolver ciertos problemas de optimización con restricciones
aplicando métodos de optimización irrestricta sobre un problema dual adecuado.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/104307 |
| Date | January 2011 |
| Creators | Hermosilla Jiménez, Cristopher Adrián |
| Contributors | Alvarez Daziano, Felipe, Cominetti Cotti-Cometti, Roberto, Ramírez Cabrera, Héctor, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Matemática |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
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