En la presente tesis se han introducido y estudiado nuevas nociones de función co-radiante de valor real extendido y de valor conjunto, definidas en un cono de un espacio euclídeo. El estudio exhaustivo que se hace de ellas ha permitido hacer contribuciones en el análisis multivaluado no convexo, así como disponer de herramientas matemáticas adecuadas para analizar con un nivel de generalidad superior, las tradicionales funciones de producción que en la teoría económica se las denomina funciones de rendimientos decrecientes a escala. Se proponen las funciones alfa-co-radiantes que incluyen funciones como las de Cobb-Douglas de grado alfa y las de elasticidad de sustitución constante. Asimismo, se presentan representaciones convexas de las funciones alfa co-radiantes y se hacen algunos aportes para las funciones cóncavas y homogéneas de grado alfa. Los resultados de mayor relevancia en esta tesis se basan en las nociones originales de aplicación multivaluada coradiante, así como en la de aplicación multivaluada inversa co-radiante. Las aplicaciones multivaluadas co-radiantes de valor no convexo son importantes para el moderno tratamiento matemático de las tecnolog´ıas de producción. Se presenta un análisis minucioso de estas aplicaciones desde el punto de vista de la convexidad abstracta. Esto ´ultimo posee un conjunto de técnicas para problemas no convexos, usando ideas provenientes del análisis convexo. Los principales resultados son las representaciones externas para aplicaciones multivaluadas co-radiantes y para aplicaciones multivaluadas inversas co-radiantes, valiéndonos de aplicaciones multivaluadas denominadas elementales o generadoras. Asimismo, se define la función coste asociada a una aplicación multivaluada de producción y se hace un análisis de esta función en el esquema de la convexidad abstracta. Finalmente, se establecen condiciones que permiten recuperar una aplicación multivaluada primitiva a partir de la función coste. Cabe mencionar, que la convexidad abstracta tiene importantes aportes en áreas como la Optimización Global y la Teoríıa del Transporte ´ Optimo; por consiguiente la tesis se enmarca en un área de investigación de gran interés en la actualidad, que va más allá del esquema económico que motivó la presente investigación. / In this thesis have been introduced and studied new notions of co-radiant function of extended real and set value, defined in a cone of a Euclidean space. The comprehensive study that is made of them has allowed contributions in non-convex multivalued analysis, as well as the availability of proper mathematical tools to analyze with a level of greater generality, the traditional functions of production which in theory economic are known as diminishing returns to scale functions. Alpha-co-radiant functions that include alpha grade Cobb-Douglas and constant elasticity of substitution functions are presented. Also, convex representations of alpha co-radiant functions are presented and some contributions to the concave and homogeneous functions of alpha grade are made. The results of greater relevance in this thesis are based on the original notions of co-radiant multivalued map, as well as on inverse co-radiant multivalued map. The co-radiant multivalued maps of non convex value are important to the modern mathematical treatment of the production technologies. A thorough analysis of these maps is presented from the point of view of abstract convexity. This last has a set of techniques for not convex problems, using ideas from the convex analysis. The main results are the external representations for co-radiant multivalued maps and inverse co-radiant multivalued maps through multivalued maps called elemental or generating maps. Also, the cost function associated with a multivalued map of production is defined and an analysis of this function in the scheme of abstract convexity is made. Finally, conditions are established in order to recover a primitive multivalued map from the cost function. It is worth mentioning, that the abstract convexity has significant contributions in areas such as Global Optimization and the Theory of the Optimal Transportation; therefore the thesis is part of an area of research of great interest today, which goes far beyond the economic scheme that gave rise to the present investigation. / Tesis

El objetivo de la presente memoria es proponer un nuevo método para resolver una clase general de problemas de optimización, a saber, dado un conjunto convexo y abierto , una función diferenciable , una matriz de rango completo (con ) y un vector , buscamos resolver algorítmicamente el problema: (P0) min{ f(x) : x ∈ clC, Ax = b}. Para esto, tomamos herramientas de la Geometría Riemanniana, las mezclamos con el método de máximo descenso y nos preguntamos qué sucede si miramos este algoritmo bajo la lupa de otra métrica, una no necesariamente Euclideana. Si bien la idea de usar métricas variables para resolver este tipo de problemas no es nueva, nuestro trabajo sí lo es, pues nos interesamos en una en particular, una que es inducida por el cuadrado de la matriz Hessiana de una cierta función barrera cuyo dominio coincide con . Esta métrica tiene la gran gracia de proveernos de una isometría, fácil de calcular, entre el conjunto , visto como variedad, y un espacio Euclideano apropiado. En el capítulo 1 de esta memoria damos una descripción introductoria de las herramientas de la Geometría Riemanniana que usamos para desarrollar nuestra teoría. En el capítulo 2 definimos formalmente la Métrica Hessiana Cuadrada de Legendre sobre un dominio convexo. Estudiamos también sus principales propiedades y consecuencias. En el capítulo 3 introducimos un nuevo método de optimización para resolver de forma algorítmica un problema más simple que el de minimizar la función sólo sobre la adherencia del conjunto . También introducimos una nueva noción de dualidad y presentamos algunos teoremas de convergencia. En el capítulo 4 generalizamos este método, con el fin de resolver algorítmicamente el problema . Por otra parte, en el capítulo 5 abordamos la pregunta de en qué casos nuestra métrica coincide con la inducida por la Hessiana de otra función barrera. Primeramente, planteamos el problema para el caso separable, obteniendo condiciones necesarias y suficientes, para luego pasar a un caso más general, donde sólo obtuvimos una condición necesaria. Finalmente, usando este criterio mostramos que el problema es en realidad muy restrictivo respecto al conjunto , lo cual nos hace conjeturar que esta pregunta no es fácil de responder y que la respuesta es en general negativa. Cabe destacar que la noción de dualidad que aquí introducimos crea un lazo entre las propiedades de carácter Riemanniano y las de carácter Euclideano, en particular, permite transformar problemas no convexos en otros que sí lo son. Más aún, esta noción nos muestra que es posible resolver ciertos problemas de optimización con restricciones aplicando métodos de optimización irrestricta sobre un problema dual adecuado.

Ingeniero Civil Matemático / Sea $X$ un evtlc y $\Phi$ una función convexa, semicontinua inferior y propia en $X$. Dados $\lambda\in\R$ y $\delta\geq 0$, se prueba que para $\overline{x}\in S_\lambda:=[\Phi\leq\lambda]$ se cumple la fórmula \begin{equation} N^\delta_{S_\lambda}(\overline{x})=\sigma^*-\limsup_{\substack{\mu(\epsilon-\Phi(\overline{x})+\lambda)\to \delta \\ \mu\geq 0}}\mu\partial_\epsilon\Phi(\overline{x}), \label{sis} \tag{$\star$} \end{equation} sin necesidad de condiciones de calificación. En espacios de Banach, se recupera una fórmula para el cono normal que involucran el subdiferencial de Fenchel exacto, pero en puntos cercanos a $\overline{x}$. En el caso que el punto $\overline{x}$ satisfaga la condición de calificación de Slater, se extiende la validez de fórmulas conocidas en espacios de Banach a los evtlc. Se analiza el caso del cono normal a una intersección finita de conjuntos de subnivel. Se estudia qué es el lado derecho de \eqref{sis} en el caso que $\overline{x}\notin S_\lambda$ y $S_\lambda\neq\phi$, y el caso $S_\lambda=\phi$, para $\delta=0$. Por polaridad se muestra una caracterización del cono tangente a $S_\lambda$, cuando $\lambda=\Phi(\overline{x})$. Se ve una condición necesaria y suficiente de optimalidad para un problema de optimización convexa. Por último, por medio de \eqref{sis}, se muestra la semicontinuidad exterior de un operador, y se utiliza este hecho para probar una propiedad asintótica de un sistema dinámico de segundo orden que involucra al operador.

Ingeniero Civil Matemático / Este trabajo está dedicado a extender resultados clásicos de análisis variacional en espacios de Banach a espacios vectoriales topológicos localmente convexos, usando la familia de funciones asintóticamente epi-puntadas. La primera parte se basa en descubrir principios variacionales, don- de se prueba que importantes herramientas desarrolladas sobre espacios de Banach se mantienen en contextos más generales para esta clase de funciones, más precisamente esta memoria de título inicia generalizando los siguientes resultados clásicos del análisis variacional y convexo. Ekeland s variational principle [14] Brøndsted, A. and Rockafellar, R. T. [6] Maximal monotonicity of subdifferential [23] Junto a lo anterior se prueba la extensión de dos formulas para el calculo del Subdiferencial de Fenchel . Primero para la composición f ◦ A donde A es una función lineal continua entre espacios localmente convexos X,Y y f es una función convexa y epi-puntada. Corolario de esto se obtiene una formula para el subdiferencial de g = f1 + f2 donde f1 y f2 son funciones convexas y epi-puntada. Posteriormente se investiga una extensión del Subdiferencial Abstracto para esta clase de fun- ciones y con esto se extienden teoremas tales como: Mean Value Theorem by Dariusz Zagrodny [28] Subdifferential Monotonicity as a characterization of convex function By Correa, Rafael and Jofré, Alejandro and Thibault, Lionel [10] Integration of subdifferential of lower semicontinuous functions by L. Thibault and D. Za- grodny [27] La parte final de este trabajo esta referida a generalizar un resultado acerca de la caracterización de funciones convexas descubierto por J. Saint Raymond [25]. Para probar esto se aplican he- rramientas desarrolladas por Rafael Correa and Abderahim Hantoute en New Formulas for the FenchelSubdifferentialoftheconjugatefunction [22].

Se presenta un método de punto proximal escalarizado inexacto para resolver problemas irrestrictos de minimización multiobjetivo cuasiconvexos definidos en espacios Euclidianos, donde las funciones vectoriales son localmente Lipschitz. Bajo algunas hipótesis naturales, se prueba que la sucesión generada por el método está bien definida y converge globalmente. Seguidamente proporcionando al método propuesto dos criterios de error, se obtienen dos variantes del mismo, y se prueba que las sucesiones generadas por cada una de esas variantes, convergen hacia un punto crítico Pareto-Clarke del problema; también se prueba que al dotar a la función vectorial de ciertas condiciones, la tasa de convergencia de uno de estos métodos es lineal y superlineal. Finalmente para validar el método propuesto y los resultados encontrados, se presentan algunos experimentos computacionales. / Tesis

En este trabajo se estudia el problema de optimización mín xES f(x) donde S es un subconjunto convexo en un espacio normado X f : X (flecha funcional) R. Asimismo, se presenta una extensión del teorema de Kuhn-Tucker que resuelve el problema de minimización sobre el conjunto S = {x E S/g(x) E -C donde C ∧ h(x) = 0Z}es un cono de orden y h, g dos funcionales Fréchet diferenciables. / Tesis

En muchas situaciones reales se trata de utilizar determinados recursos en una cantidad limitada pero de la mejor manera, es decir que su uso cause el mayor provecho. La programación lineal estudia la optimización de una función lineal que satisface un conjunto de restricciones lineales de igualdad o desigualdad. La programación lineal es un modelo matemático que fue planteado por primera vez por George B. Dantzing en1947 cuando era consejero matemático de la fuerza aérea de los Estados Unidos. Sabemos además que en1939 Leonid V. Kantorovich ya había planteado y resuelto problemas de este tipo. En aplicaciones de la optimización a la economía, teoría de control, problemas inversos etc, surgen problemas donde la función objetivo no siempre es diferenciable o casos en los cuales el problema no está bien puesto. Para resolver problemas como estos se utilizan técnicas en el contexto del análisis convexo, como los métodos de regularización para funciones convexas así como los métodos de punto proximal y lagrangeano aumentado ente otros. Recientemente, en el año 2009, los profesores Bauschke, Lucet y Triens propusieron la media proximal, una novedosa técnica que tiene la propiedad de ser autodual respecto a la conjugada de Fenchel, que puede trabajar incluso con funciones de dominio disjunto, veremos que esta técnica puede ser aprovechada para manipular la envoltura de Goebel y probar su autodualidad respecto a la conjugada de Fenchel, además de tratar la optimización de varias funciones objetivo en el caso convexo o inclusive en el caso de ciertas funciones no necesariamente convexas aun cuando los dominios de estas funciones sean disjuntos. / Tesis

En la presente tesis se han introducido y estudiado nuevas nociones de función co-radiante de valor real extendido y de valor conjunto, definidas en un cono de un espacio euclídeo. El estudio exhaustivo que se hace de ellas ha permitido hacer contribuciones en el análisis multivaluado no convexo, así como disponer de herramientas matemáticas adecuadas para analizar con un nivel de generalidad superior, las tradicionales funciones de producción que en la teoría económica se las denomina funciones de rendimientos decrecientes a escala. Se proponen las funciones alfa-co-radiantes que incluyen funciones como las de Cobb-Douglas de grado alfa y las de elasticidad de sustitución constante. Asimismo, se presentan representaciones convexas de las funciones alfa co-radiantes y se hacen algunos aportes para las funciones cóncavas y homogéneas de grado alfa. Los resultados de mayor relevancia en esta tesis se basan en las nociones originales de aplicación multivaluada coradiante, así como en la de aplicación multivaluada inversa co-radiante. Las aplicaciones multivaluadas co-radiantes de valor no convexo son importantes para el moderno tratamiento matemático de las tecnolog´ıas de producción. Se presenta un análisis minucioso de estas aplicaciones desde el punto de vista de la convexidad abstracta. Esto ´ultimo posee un conjunto de técnicas para problemas no convexos, usando ideas provenientes del análisis convexo. Los principales resultados son las representaciones externas para aplicaciones multivaluadas co-radiantes y para aplicaciones multivaluadas inversas co-radiantes, valiéndonos de aplicaciones multivaluadas denominadas elementales o generadoras. Asimismo, se define la función coste asociada a una aplicación multivaluada de producción y se hace un análisis de esta función en el esquema de la convexidad abstracta. Finalmente, se establecen condiciones que permiten recuperar una aplicación multivaluada primitiva a partir de la función coste. Cabe mencionar, que la convexidad abstracta tiene importantes aportes en áreas como la Optimización Global y la Teoríıa del Transporte ´ Optimo; por consiguiente la tesis se enmarca en un área de investigación de gran interés en la actualidad, que va más allá del esquema económico que motivó la presente investigación. / In this thesis have been introduced and studied new notions of co-radiant function of extended real and set value, defined in a cone of a Euclidean space. The comprehensive study that is made of them has allowed contributions in non-convex multivalued analysis, as well as the availability of proper mathematical tools to analyze with a level of greater generality, the traditional functions of production which in theory economic are known as diminishing returns to scale functions. Alpha-co-radiant functions that include alpha grade Cobb-Douglas and constant elasticity of substitution functions are presented. Also, convex representations of alpha co-radiant functions are presented and some contributions to the concave and homogeneous functions of alpha grade are made. The results of greater relevance in this thesis are based on the original notions of co-radiant multivalued map, as well as on inverse co-radiant multivalued map. The co-radiant multivalued maps of non convex value are important to the modern mathematical treatment of the production technologies. A thorough analysis of these maps is presented from the point of view of abstract convexity. This last has a set of techniques for not convex problems, using ideas from the convex analysis. The main results are the external representations for co-radiant multivalued maps and inverse co-radiant multivalued maps through multivalued maps called elemental or generating maps. Also, the cost function associated with a multivalued map of production is defined and an analysis of this function in the scheme of abstract convexity is made. Finally, conditions are established in order to recover a primitive multivalued map from the cost function. It is worth mentioning, that the abstract convexity has significant contributions in areas such as Global Optimization and the Theory of the Optimal Transportation; therefore the thesis is part of an area of research of great interest today, which goes far beyond the economic scheme that gave rise to the present investigation.

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En este trabajo se definen y estudian los conceptos de H-convexidad y H-conjugación, siendo H una familia de funciones reales de variable real cerrada para el supremo puntual de tal manera que coinciden con los clásicos al considerar la familia H de las traslaciones de R. Mediante ellos se construye una teoría de la dualidad en programación matemática y se estudian los Lagrangieros que se derivan. Entre las aplicaciones de estas nociones figura la interpretación de algunas teorías previas sobre conjugación quasi-convexa que se obtienen al considerar ciertas familias H de funciones crecientes. También se aborda la conjugación de multiaplicaciones en conjuntos abstractos, generalizando así las ya conocidas en los que se requieren estructuras algebraicas y de orden.