Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes
marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur.
Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus-
ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite
symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba-
tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites
par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option
pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées
par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]).
Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono-
tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞
sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc-
ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh])
muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea
([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une
catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description
(relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de
notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés
qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison. / We define objects made of marked complex disks connected by metric line seg-
ments and construct two sequences of moduli spaces of these objects, referred
as the ⊗ version (nonsymmetric) and the • version (symmetric). This allows
choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer
trajectories proposed by Cornea and Lalonde ([CL]). These perturbations are
intended to lead to an alternative geometric description of the (obstructed) A∞
and L∞ structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono ([FOOO2],[FOOO])
and Cho ([Cho]).
Given a Pin± monotone lagrangian submanifold L ⊂ (M, ω) with mini-
mal Maslov number ≥ 2, we define an A∞ -algebra structure from the critical
points of a generic Morse function on L. We express this structure as a cochain
complex extending the pearl complex introduced by Oh ([Oh]) and further ex-
plicited by Biran and Cornea ([BC]), equipped with its quantum product. This
could also be seen as an alternative geometric description of a Fukaya cate-
gory of (M, ω) with L as its only object, a hamiltonian relative version appear-
ing in [Sei]. Using spaces of quilted clusters, we verify, using more general
quilted cluster spaces, that this defines a functor from a homotopy category
of Pin± monotone lagrangian submanifolds hL mono,± (M, ω) to the homotopy
category of cochain complexes hK(Λ-mod) where Λ is an appropriate Novikov
ring.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/8998 |
| Date | 11 1900 |
| Creators | Charest, François |
| Contributors | Lalonde, François, Cornea, Octavian |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation |
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