Pour l'algèbre de Banach complexe A ayant l'élément unité, on dénote par G(A) l'ensemble des éléments inversibles de A, et par G1(A) on dénote la composante qui contient l'unité. Le spectre de a ∈ A est l'ensemble de tous les nombres complexes λ tels que λ1 - a ∉ G(A), et le spectre exponentiel de a est l'ensemble de tous les nombres complexes tels que λ1 - a ∉ G1(A). Évidemment, pour chaque élément de l'algèbre, son spectre exponentiel contient le spectre habituel. Il est bien connu que le spectre habituel a une propriété que l'on nommera "propriété de commutativité". Cela signifie que, pour chaque choix des deux éléments a; b ∈ A, nous avons Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, où Sp est le spectre. Avons-nous la même propriété pour les spectres exponentiels? Cette question n'est toujours pas résolue. L'objectif de ce mémoire est d'étudier le spectre exponentiel, et plus particulièrement sa propriété de commutativité. Dans le premier chapitre, nous donnerons les définitions d'algèbre de Banach complexe, spectre et spectre exponentiel de ses éléments, et leurs propriétés de base. Aussi nous établirons des relations topologiques entre les spectres exponentiel et habituel. Dans le deuxième chapitre, nous définirons les fonctions holomorphes sur une algèbre de Banach, et discuterons du problème de la propriété de commutativité de spectre exponentiel, en établissant des résultats positifs connus. Dans le troisième et dernier chapitre, nous examinerons quelques exemples d'algèbres de Banach, décrivant les ensembles G(A) et G1(A), et discuterons de la propriété de commutativité pour ces algèbres. / For a complex Banach algebra A with unit element, we denote by G(A) the set of invertible elements of A, and by G1(A) we denote the component of G(A) which contains the unit. The spectrum of a ∈ A is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G(A), and the exponential spectrum of a is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G1(A). Of course for each element of the algebra its exponential spectrum contains the usual spectrum. It is well known that the usual spectrum has the so-called commutativity property. This means that, for any two elements a and b of A, we have Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, where Sp denotes the spectrum. Does this property hold for exponential spectra? This is still an open question. The purpose of this memoir is to study the exponential spectrum, and particularly its commutativity property. In chapter one, we will give definitions of a complex Banach algebra, the spectrum and exponential spectrum of its elements, and their basic properties. Also we will establish topological relations between exponential and usual spectra. In chapter two, we will define holomorphic functions on a Banach algebra, and also discuss the commutativity property problem for the exponential spectrum, establishing some known positive results. In the last chapter, we will consider some examples of Banach algebras, describing the sets G(A) and G1(A), and discuss the commutativity property for these algebras.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/26338 |
| Date | 23 April 2018 |
| Creators | Gevorgyan, Aram |
| Contributors | Ransford, Thomas Joseph |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | mémoire de maîtrise, COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (xiii, 40 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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