Un problème classique est d'identifier des sous-ensembles (pré)compacts de l'ensemble des espaces métriques de longueur (la distance entre deux espaces étant celle de Gromov-Hausdorff) et d'y étudier la continuité, la rigidité ou la « bornitude » de certains invariants. Habituellement, on considère l'ensemble <B>R</B><sub><I>n,K,D</I></SUB> des variétés de dimension, courbure et diamètre bornés (par <I>n</I>, -<I>K</I><SUP>2</SUP> et <I>D</I>), qui n'est pas complet (la « bornitude » n'y découle donc pas d'une preuve unifiée de type compacité/continuité). Nous nous affranchissons des hypothèses de courbure en nous plaçant sur la famille <B>M</B><sub>δ,<I>H,D</I></sub> des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur de diamètre et d'entropie (volumique) bornés par <I>D</I> et <I>H</I>, qui admettent un revêtement universel et dont le groupe fondamental est δ-non-abélien (i.e. vérifie certaines des propriétés algébriques de croissance des groupes fondamentaux de variétés de courbure négative). Nous montrons que l'entropie est peu sensible à des variations locales drastiques de la métrique ou de la topologie, donc que <B>M</B><sub>δ,<I>H,D</I></sub> est beaucoup plus grand que <B>R</B><sub><I>n,K,D</I></sub>. Nous prouvons cependant que <B>M</B><sub>δ,<I>H,D</I></sub> est complet, et que le sous-ensemble <B>M</B><sup>0</sup><sub>δ,<I>H,D,V</I></sub> (formé des variétés de courbure négative et de volume majoré par <I>V</I>) y est d'adhérence compacte. Sur <B>M</B><sup>0</sup><sub>δ,<I>H,D,V</I></sub> nous établissons des majorations uniformes du noyau de la chaleur qui impliquent la précompacité de cette famille pour la distance spectrale, ce qui assure une description des propriétés spectrales des espaces-limites. Sur <B>M</B><sub>δ,<I>H,D</I></sub> nous prouvons que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. le premier nombre de Betti) sont des fonctions lipschitziennes (resp. localement constantes) et nous comparons les volumes et les bornes inférieures de la courbure de deux variétés ε<sub>0</sub>-proches. La méthode s'appuie d'une part sur une estimation de type Bishop (mais sans hypothèse de courbure) du volume des boules, d'autre part sur le calcul d'un ε<sub>0</sub> := ε<sub>0</sub> (δ,<I>H,D</I>) universel tel qu'une ε<sub>0</sub>-approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces <I>X</I> et <I>Y</I> de <B>M</B><sub>δ,<I>H,D</I></sub> induise un isomorphisme ρ entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une ε<sub>0</sub>-presque-isométrie ρ-équivariante entre ces revêtements (une version de ce résultat valable hors de <B>M</B><sub>δ,<I>H,D</I></sub> est aussi donnée).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00009203 |
| Date | 26 April 2005 |
| Creators | REVIRON, Guillemette |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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