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Previous issue date: 2009-10-30 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we conducted a study on the equations of the type
dx
dt
=
nå
i=0
ai(t)xi; (A)
where ai 2 C1, i = 0; ;n and 0 t 1. An equation of the form (A) is called a
generalized Abel equation. Our study refers to the problem proposed by C. Pugh: There
is a natural number N depending only on n, such that the equation (A) has at most N limit
cycles?
Initially we study the problem of C. Pugh for n = 1 and n = 2, for which the equation
(A) has at most one and two limit cycles, respectively. For n = 3, A. Lins Neto shows
that if a3(t) does not change sign on [0;1], then the equation (A) has at most three limit
cycles. Also A. Lins Neto shows that, given a natural number l, it is possible to construct
an equation of the form (A) with n = 3 that has at least l limit cycles. Still for n = 3, A.
Gasull and J. Llibre study the problem of C. Pugh considering that a2(t) does not change
sign on [0;1], and M. J. Alvarez, A. Gasull and H. Giacomini also study the problem of
C. Pugh considering that there are real numbers a and b such that aa3(t)+ba2(t) does
not change sign on [0;1] and a1(t) = a0(t) = 0. Besides this, we study some more general
results studied by A. Gasull and A. Guillamon. / Neste trabalho realizamos um estudo sobre as equações do tipo
dx
dt
=
nå
i=0
ai(t)xi; (A)
onde ai 2 C1, i = 0; ;n e 0 t 1. Uma equação da forma (A) é denominada
equação de Abel generalizada. Nosso estudo se refere ao problema proposto por C. Pugh:
existe um número natural N dependendo apenas de n, tal que a equação (A) possui no
máximo N ciclos limites?
Inicialmente estudamos o problema de C. Pugh para n=1 e n=2, para os quais a equação
(A) possui, no máximo, um e dois ciclos limite, respectivamente. Para n = 3, A. Lins
Neto mostra que, se a3(t) não muda de sinal em [0;1], então a equação (A) possui no
máximo três ciclos limite. Além disso A. Lins Neto mostra que, dado um número natural
l, é possível construir uma equação da forma (A) com n = 3 que possui no mínimo l
ciclos limites. Ainda para n = 3, A. Gasull e J. Llibre estudam o problema de C. Pugh
considerando que a2(t) não muda de sinal em [0;1], e M. J. Álvarez, A. Gasull e H.
Giacomini também estudam o problema de C. Pugh considerando que existem números
reais a e b tais que aa3(t)+ba2(t) não muda de sinal em [0;1] e a1(t) = a0(t) = 0. Além
destes resultados, estudamos alguns resultados mais gerais estudados por A. Gasull e A.
Guillamon.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.bc.ufg.br:tde/2883 |
| Date | 30 October 2009 |
| Creators | Belisário, Hugo Leonardo da Silva |
| Contributors | Garcia, Ronaldo Alves |
| Publisher | Universidade Federal de Goiás, Programa de Pós-graduação em Matemática (IME), UFG, Brasil, Instituto de Matemática e Estatística - IME (RG) |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFG, instname:Universidade Federal de Goiás, instacron:UFG |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 6600717948137941247, 600, 600, 600, 600, -4268777512335152015, -7090823417984401694, -2555911436985713659, [1] GASULL, A; GUILLAMON, A. Limit cicles for generalized Abel equations. International Journal of Bifurcation and Chaos, 16(12):3737–3745, 2006. [2] GASULL, A; LLIBRE, J. Limit cycles for a class of Abel equations. Siam J. Math. Anal, 21(5):1235–1244, 1990. [3] HALE, J. K; KOÇAK, H. Dynamics and Bifurcations. Springer-Verlag, 1991. [4] HOLBOE, B. Oeuvres Complètes de N. H. Abel. Chez Chr Gröndahl, Imprimeur- Libraire, (Volume 2): 229-245, 1839. Disponível on-line: http://books.google. com.br/books?id=yS4VAAAAQAAJ&dq=Oeuvres%20compl%C3%A8tes%20Niels% 20Henrik%20Abel&lr=&pg=RA1-PA229#v=onepage&q=&f=false, Acesso em: 24/09/2009. [5] LINS N., A. On the number of solutions of the equation dx dt =ånj =0 aj(t)x j, 0 t 1, for which x(0) = x(1). Inventiones Matematicae, (59):67–76, 1980. [6] ÁLVAREZ, M. J; GASULL, A; GIACOMINI, H. A new uniqueness criterion for the number of periodic orbits of Abel equations. Journal of Differential Equations, (234):161–176, 2007. [7] PERKO, L. Differencial Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1991. [8] SOTOMAYOR, J. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, 1979. |
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