The subject of this monograph can be described as the local properties of geometric
Steiner minimal trees in finite-dimensional normed spaces. A Steiner minimal tree
of a finite set of points is a shortest connected set interconnecting the points. For a
quick introduction to this topic and an overview of all the results presented in this
work, see Chapter 1. The relevant mathematical background knowledge needed
to understand the results and their proofs are collected in Chapter 2. In Chapter 3
we introduce the Fermat-Torricelli problem, which is that of finding a point that
minimizes the sum of distances to a finite set of given points. We only develop
that part of the theory of Fermat-Torricelli points that is needed in later chapters.
Steiner minimal trees in finite-dimensional normed spaces are introduced in Chapter
4, where the local Steiner problem is given an exact formulation. In Chapter 5
we solve the local Steiner problem for all two-dimensional spaces, and generalize
this solution to a certain class of higher-dimensional spaces (CL spaces). The twodimensional
solution is then applied to many specific norms in Chapter 6. Chapter
7 contains an abstract solution valid in any dimension, based on the subdifferential
calculus. This solution is applied to two specific high-dimensional spaces
in Chapter 8. In Chapter 9 we introduce an alternative approach to bounding the
maximum degree of Steiner minimal trees from above, based on the illumination
problem from combinatorial convexity. Finally, in Chapter 10 we consider the related
k-Steiner minimal trees, which are shortest Steiner trees in which the number
of Steiner points is restricted to be at most k. / Das Thema dieser Habilitationsschrift kann als die lokalen Eigenschaften der geometrischen minimalen Steiner-Bäume in endlich-dimensionalen normierten Räumen beschrieben werden. Ein minimaler Steiner-Baum einer endlichen Punktmenge ist eine kürzeste zusammenhängende Menge die die Punktmenge verbindet. Kapitel 1 enthält eine kurze Einführung zu diesem Thema und einen Überblick über alle Ergebnisse dieser Arbeit. Die entsprechenden mathematischen Vorkenntnisse mit ihren Beweisen, die erforderlich sind die Ergebnisse zu verstehen, erscheinen in Kapitel 2. In Kapitel 3 führen wir das Fermat-Torricelli-Problem ein, das heißt, die Suche nach einem Punkt, der die Summe der Entfernungen der Punkte einer endlichen Punktmenge minimiert. Wir entwickeln nur den Teil der Theorie der Fermat-Torricelli-Punkte, der in späteren Kapiteln benötigt wird. Minimale Steiner-Bäume in endlich-dimensionalen normierten Räumen werden in Kapitel 4 eingeführt, und eine exakte Formulierung wird für das lokale Steiner-Problem gegeben. In Kapitel 5 lösen wir das lokale Steiner-Problem für alle zwei-dimensionalen Räume, und diese Lösung wird für eine bestimmte Klasse von höher-dimensionalen Räumen (den sog. CL-Räumen) verallgemeinert. Die zweidimensionale Lösung wird dann auf mehrere bestimmte Normen in Kapitel 6 angewandt. Kapitel 7 enthält eine abstrakte Lösung die in jeder Dimension gilt, die auf der Analysis von Subdifferentialen basiert. Diese Lösung wird auf zwei bestimmte höher-dimensionale Räume in Kapitel 8 angewandt. In Kapitel 9 führen wir einen alternativen Ansatz zur oberen Schranke des maximalen Grads eines minimalen Steiner-Baums ein, der auf dem Beleuchtungsproblem der kombinatorischen Konvexität basiert ist. Schließlich betrachten wir in Kapitel 10 die verwandten minimalen k-Steiner-Bäume. Diese sind die kürzesten Steiner-Bäume, in denen die Anzahl der Steiner-Punkte auf höchstens k beschränkt wird.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa.de:bsz:ch1-201000873 |
| Date | 15 June 2010 |
| Creators | Swanepoel, Konrad Johann |
| Contributors | TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik, Prof. Dr. Horst Martini, Prof. Dr. Horst Martini, Prof. Dr. Eike Hertel, Prof. Dr. Martin Henk |
| Publisher | Universitätsbibliothek Chemnitz |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf, text/plain, application/zip |
| Rights | Dokument ist für Print on Demand freigegeben |
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