L'objectif de la thèse est de construire une compactification géométrique de l'espace des structures de demi-translation sur une surface S compacte, connexe, orientable, de genre au moins égal à 2. Il s’inscrit dans le très large thème d’étude des déformations de structures géométriques sur les surfaces. Une structure de demi-translation sur S est une métrique localement euclidienne (de courbure constante nulle) sur S, avec des singularités coniques d'angles k pi, avec k un entier et k>2, telle que l'holonomie de tout lacet lisse de S, disjoint des singularités, est Id ou -Id.Je définis l'ensemble des structures mixtes sur S, qui sont des structures arborescentes (au sens de Drutu-Sapir), équivariantes par le groupe fondamentalde S et CAT(0), obtenues par recollement de pièces par des arêtes, éventuellement réduites à des points, telles que l'espace obtenu par écrasement des pièces est un arbre réel simplicial (la plupart des arêtes ont une longueur non nulle), et les pièces sont ou bien des arbres réels, ou bien des revêtements universels de sous-surfaces (ouvertes) de S, munies de structures de demi-translation. Je munis l'espace Mix(Sigma) des (classes d'isométries équivariantes par le groupe fondamental de S) de structures mixtes sur S d'une topologie géométrique naturelle, appelée topologie de Gromov équivariante. Je montre alors, par des techniques d'ultralimites à la Gromov, que l'espace Flat(S) des (classes d'isotopie de) structures de demi-translation sur S, identifié à l’ensemble des structures de demi-translation équivariantes par le groupe fondamental de S sur le revêtement universel de S, est un ouvert dense de Mix(S), et que le projectifié PMix(S), muni de la topologie quotient, est compact. Le projectifié PMix(S) est donc une compactification du projectifié PFlat(S) de l'espace Flat(S) (qui s'identifie à l'espace des structure de demi-translation d'aire 1 sur S). / The goal of this thesis is to build a geometric compactification of the space of half-translation structures on a connected, compact surface S, with genus at least 2. It is a part of the wide thema of study of the deformations of metric structures on surfaces.A half-translation structure on S is a locally euclidean metric (with null constant curvature) on S, with conical singularities of angles k pi, with k an integer and k>2, such that the holonomy of every smooth curve of S, disjoint from the singularities, is contained in Id or -Id.I define the set of mixed structures on S, which are tree-graded spaces (in the sense of Drutu-Sapir), equivariant by the fundamental group of S and CAT(0), obtained by gluing some pieces by some edges, possibly reduced to a point, such that the space obtained by replacing the pieces by some points is a simplicialtree (most edges have a positive length), and the pieces are either some trees or some universal covers of (open) subsurfaces of S endowed with a half-translation structures. I endow the space Mix(S) of (classes of isometry equivariant by the fundamental group of S of) mixed structures on S with a natural geometric topology, called the Gromov equivariant topology. I show, by techniques using ultralimits "à la Gromov", that the space Flat(S) of (isotopy classes of) half-translation structures on S, identified with the set of half-translation structures on the universal cover of S which are equivariant for the fundamental group of S, is a dense and open subset of Mix(S), and the projectified space PMix(S) is compact. The projectified space PMix(S) is then a compactification of the projectified space PFlat(S) (which identifies with the space of half-translations structures of area 1 on S.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2015SACLS225 |
| Date | 11 December 2015 |
| Creators | Morzadec, Thomas |
| Contributors | Université Paris-Saclay (ComUE), Paulin, Frédéric |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text, Image, StillImage |
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