La théorie de Galois a eu un impact sur les mathématiques plus important que ce qu'elle laissait présager au départ. Son résultat le plus important est le théorème de correspondance qui s'énonce de la manière suivante :si L/K est une extension de corps finie galoisienne et si G = Gal(L/K) est son groupe de Galois, alors il existe une correspondance biunivoque entre les corps intermédiaires de L/K et les sous-groupes de G. Explicitement, si G_0 est un sous-groupe de G, alors on lui associe l'ensemble des G_0-invariants L^(G_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. D'autre part, si L_0 est un corps intermédiaire de L/K, alors on lui associe le groupe de Galois Gal(L/L_0) qui est un sous-groupe de G.Il existe de nombreuses manières de généraliser la théorie de Galois, celle que nous avons choisie utilise les algèbres de Hopf. L'idée, introduite par Chase et Sweedler, est de remplacer l'action de groupe G par une action d'algèbre de Hopf H. De telles extensions sont appelées Hopf-galoisiennes.La première étape vers la généralisation du théorème de correspondance est due à Chase et Sweedler :si L/K est une extension Hopf-galoisienne d'algèbre de Hopf H et si H_0 est une sous-algèbre de Hopf de H, alors on peut construire l'ensemble des H_0-invariants L^(H_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. Malheureusement, contrairement au cas des extensions galoisiennes, tous les corps intermédiaires de L/K ne s'obtiennent pas de cette manière et une caractérisation des corps de la forme L^(H_0) ne semble pas être connue.Le but de cette thèse est de généraliser le théorème de correspondance pour des extensions Hopf-galoisiennes finies séparables. Dans ce but, nous avons caractérisé de manière naturelle et intrinsèque les corps intermédiaires de L/K qui peuvent s'écrire sous la forme L^(H_0) pour une certaine sous-algèbre de Hopf H_0 de H. Ainsi, nous avons pu prouver un théorème de correspondance tout à fait analogue à celui de la théorie de Galois. Nous avons également établi, à l'instar de la théorie de Galois, une variante du théorème de correspondance pour les sous-algèbres de Hopf qui sont normales.Un apport essentiel à cette thèse est fourni par les travaux de Greither et Pareigis. Ceux-ci ont associé un groupe à une extension Hopf-galoisienne finie séparable. Nous avons prouvé qu'il était possible de traduire le théorème de correspondance en termes de ce groupe. De plus, ce groupe nous a permis de construire une structure Hopf-galoisienne alternative nous aidant à mieux comprendre le théorème de correspondance.Enfin, nous avons proposé une définition d'extensions Hopf-galoisiennes pour des extensions de corps infinies séparables et avons obtenu des résultats encourageants. Cela ouvre un nouveau champ de possibilités pour des recherches futures. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished
| Identifer | oai:union.ndltd.org:ulb.ac.be/oai:dipot.ulb.ac.be:2013/312548 |
| Date | 10 September 2020 |
| Creators | Bui, Hoan-Phung |
| Contributors | Vercruysse, Joost, Wiese, Gabor G.W., D'Adderio, Michele, Gutt, Simone, Byott, Nigel P., Lomp, Christian |
| Publisher | Universite Libre de Bruxelles, Université libre de Bruxelles, Faculté des Sciences – Mathématiques, Bruxelles |
| Source Sets | Université libre de Bruxelles |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:ulb-repo/semantics/doctoralThesis, info:ulb-repo/semantics/openurl/vlink-dissertation |
| Format | 3 full-text file(s): application/pdf | application/pdf | application/pdf |
| Rights | 3 full-text file(s): info:eu-repo/semantics/closedAccess | info:eu-repo/semantics/openAccess | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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