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Dans cette thèse, nous traitons la théorie des modèles de corps algébriquement clos étendu par prédicats pour désigner soit des éléments de hauteur bornée, soit des sous-groupes multiplicatifs satisfaisant une condition diophantienne. Les questions que nous considérons appartiennent au domaine de la théorie de la stabilité. Tout d'abord, nous examinons un corps algébriquement clos avec un sous-groupe multiplicatif distingué qui satisfait la propriété Mann. Ainsi, nous caractérisons l'indépendance qui nous permet de caractériser les groupes définissables et les groupes interprétables dans la paire. Ensuite, nous étudions les corps algébriquement clos étendu par un sous-corps propre algébriquement clos et un sous- groupe multiplicatif. Nous caractérisons les groupes définissables et interprétables dans cette triple. Nous considérons aussi l'ensemble des nombres algébriques avec des éléments de petite hauteur et nous montrons que cette théorie n'est pas simple et a la propriété d'indépendance. Puis, nous nous rapportons à la simplicité d'une certaine paire avec la conjecture de Lehmer. Enfin, nous appliquons l'analyse non standard pour prouver l'existence de certaines bornes de hauteur de la complexité des coefficients de certains polynômes. Cela nous permet de caractériser l'appartenance idéale d'un polynôme donné. De plus, nous obtenons une borne pour la fonction de la hauteur logarithmique, ce qui nous permet de tester la primalité d'un idéal / In this thesis, we deal with the model theory of algebraically closed fields expanded by predicates to denote either elements of small height or multiplicative subgroups satisfying a Diophantine condition. The questions we consider belong to the area of stability theory. First, we investigate an algebraically closed field with a distinguished multiplicative subgroup satisfying the Mann property. We characterize the independence which enables us to characterize definable and interpretable groups in the pair. Then we study the model theory of algebraically closed fields expanded by a proper algebraically closed subfield and a multiplicative subgroup. We characterize definable and interpretable groups in this triple. We also consider the set of algebraic numbers with elements of small height and we show that this theory is not simple and has the independence property. We then relate the simplicity of a certain pair with Lehmer’s conjecture. Finally, we apply nonstandard analysis to prove the existence of certain height bounds on the complexity of the coefficients of some polynomials. This allows us to characterize the ideal membership of a given polynomial. Moreover, we obtain a bound for the logarithmic height function, which enables us to test the primality of an ideal

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, on s'intéresse à la résolution de certaines équations diophantiennes par la méthode modulaire. On traite plus particulièrement le cas des équations de Fermat de type (5,5,p) ainsi que celui des équations de la forme F(x,y)=z^p où p est un nombre premier et F une cubique rationnelle. La deuxième partie est consacrée à l'arithmétique des courbes elliptiques. Dans le cas d'une courbe définie sur une extension finie de Q_2 ayant mauvaise réduction additive avec potentiellement bonne réduction, on s'intéresse à la détermination de son défaut de semi-stabilité. On énonce un résultat partiel valable pour toute extension finie de Q_2. Dans le cas des extensions quadratiques ramifiées de Q_2, on obtient un résultat complet. Par ailleurs, si E est une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, on s'intéresse, dans le dernier chapitre, à l'ensemble des nombres premiers p pour lesquels l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe des points de p-torsion de E est réductible. Lorsque cet ensemble est fini, on obtient un critère permettant en pratique de le déterminer explicitement.

Le cadre général de cette thèse est celui de la théorie d'Iwasawa. Nous nous intéressons plus<br />particulièrement à la conjecture de Greenberg généralisée (multiple) (GG). Après avoir relié celle-ci à différents problèmes de capitulation pour certains groupes de cohomologie p-adiques en degré 2, nous proposons une version faible (GGf) de (GG) dont nous montrons la validité, pour tout corps de nombres F contenant une racine primitive p-ième de l'unité et un corps quadratique imaginaire dans lequel (p) se décompose, du moment que F vérifie la conjecture de Leopoldt. Les outils développés permettent de retrouver et de généraliser (notamment dans des Zp-extensions autre que la Zp-extension<br />cyclotomique) un certain nombre de résultats classiques en théorie d'Iwasawa.

Cette thèse s'articule autour de la Conjecture de Greenberg en théorie d'Iwasawa, qui prédit que les nombres de classes des corps de nombres appartenants à une Z_p extension d'un corps totalement réel sont bornés. On discute des critères de validité de la Conjecture et une application de la Conjecture à l'arithmétique des Unités Cyclotomiques.

La théorie de Galois a eu un impact sur les mathématiques plus important que ce qu'elle laissait présager au départ. Son résultat le plus important est le théorème de correspondance qui s'énonce de la manière suivante :si L/K est une extension de corps finie galoisienne et si G = Gal(L/K) est son groupe de Galois, alors il existe une correspondance biunivoque entre les corps intermédiaires de L/K et les sous-groupes de G. Explicitement, si G_0 est un sous-groupe de G, alors on lui associe l'ensemble des G_0-invariants L^(G_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. D'autre part, si L_0 est un corps intermédiaire de L/K, alors on lui associe le groupe de Galois Gal(L/L_0) qui est un sous-groupe de G.Il existe de nombreuses manières de généraliser la théorie de Galois, celle que nous avons choisie utilise les algèbres de Hopf. L'idée, introduite par Chase et Sweedler, est de remplacer l'action de groupe G par une action d'algèbre de Hopf H. De telles extensions sont appelées Hopf-galoisiennes.La première étape vers la généralisation du théorème de correspondance est due à Chase et Sweedler :si L/K est une extension Hopf-galoisienne d'algèbre de Hopf H et si H_0 est une sous-algèbre de Hopf de H, alors on peut construire l'ensemble des H_0-invariants L^(H_0) qui est un corps intermédiaire de L/K. Malheureusement, contrairement au cas des extensions galoisiennes, tous les corps intermédiaires de L/K ne s'obtiennent pas de cette manière et une caractérisation des corps de la forme L^(H_0) ne semble pas être connue.Le but de cette thèse est de généraliser le théorème de correspondance pour des extensions Hopf-galoisiennes finies séparables. Dans ce but, nous avons caractérisé de manière naturelle et intrinsèque les corps intermédiaires de L/K qui peuvent s'écrire sous la forme L^(H_0) pour une certaine sous-algèbre de Hopf H_0 de H. Ainsi, nous avons pu prouver un théorème de correspondance tout à fait analogue à celui de la théorie de Galois. Nous avons également établi, à l'instar de la théorie de Galois, une variante du théorème de correspondance pour les sous-algèbres de Hopf qui sont normales.Un apport essentiel à cette thèse est fourni par les travaux de Greither et Pareigis. Ceux-ci ont associé un groupe à une extension Hopf-galoisienne finie séparable. Nous avons prouvé qu'il était possible de traduire le théorème de correspondance en termes de ce groupe. De plus, ce groupe nous a permis de construire une structure Hopf-galoisienne alternative nous aidant à mieux comprendre le théorème de correspondance.Enfin, nous avons proposé une définition d'extensions Hopf-galoisiennes pour des extensions de corps infinies séparables et avons obtenu des résultats encourageants. Cela ouvre un nouveau champ de possibilités pour des recherches futures. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse traite de deux problèmes dont le lien n’est pas apparent (1) A` quoi ressemble l’abélianisé AK du groupe de Galois absolu d’un corps quadratique imaginaire K, comme groupe topologique? (2) A` quoi ressemble le groupe des points adéliques d’une courbe elliptique sur Q, comme groupe topologique? Pour la première question, la restriction au groupe de Galois abélianisé nous permet d’utiliser la théorie du corps de classes pour analyser AK . Les travaux précédents dans ce domaine, qui remontent à Kubota et Onabe, décrivent le dual de Pontryagin de AK en termes de familles in- finies d’invariants de Ulm à chaque premier p, très indirectement. Notre approche directe par théorie du corps de classes montre que AK con- tient un sous-groupe UK d’indice fini isomorphe au groupe des unités Oˆ* de la complétion profinie Oˆ de l’anneau des entiers de K, et décrit explicitement le groupe topologique UK , essentiellement indépendamment du corps quadratique imaginaire K. Plus précisément, pour tout corps quadratique imaginaire différent de Q(i) et Q(v-2),on a UK ∼= U = Zˆ2 × Y Z/nZ. (n=1) Le caractère exceptionnel de Q(v-2) n’apparaît pas dans les travaux de Kubota et Onabe, et leurs résultats doivent être corrigés sur ce point.Passer du sous-groupe universel UK à AK revient à un problème d’extension pour des groupes adéliques qu’il est possible de résoudre en passant à une extension de quotients convenables impliquant le quotient Zˆ-libre maximal UK/TK de UK . Par résoudre , nous entendons que, pour chaque K suffisamment petit pour permettre des calculs de groupe de classes explicites, nous obtenons un algorithme praticable décidant le comportement de cette extension. Si elle est totalement non-scindée, alors AK est isomorphe comme groupe topologique au groupe universel U . Réciproquement, si l’extension tensorisée par Zp se scinde pour un premier p impair, alors AK n’est pas isomorphe à U . Pour le premier 2, la situation est particulière, mais elle reste contrôlée grâce à l’abondance de résultats sur la 2-partie des groupes de classes de corps quadratiques.Nos expérimentations numériques ont permis de mieux comprendre la distribution des types d’isomorphismes de AK quand K varie, et nous conduisent à des conjectures telles que pour 100% des corps quadratiques imaginaires K de nombre de classes premier, AK est isomorphe au groupe universel U .Pour notre deuxième problème, qui apparaît implicitement dans [?, Section 9, Question 1] (dans le but de reconstruire le corps de nombres K à partir du groupe des points adéliques E(AK ) d’une courbe elliptique convenable sur K), nous pouvons appliquer les techniques usuelles pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres, en suivant les mêmes étapes que pour déterminer la structure du groupe Oˆ* rencontré dans notre premier problème. Il s’avère que, dans le cas K = Q que nous traitons au Chapitre 4, le groupe des points adéliques de presque toutes les courbes elliptiques sur Q est isomorphe à un groupe universel E = R/Z × Zˆ × Y Z/nZ (n=1)de nature similaire au groupe U . Cette universalité du groupe des points adéliques des courbes elliptiques provient de la tendance qu’ont les représentations galoisiennes attachées (sur le groupe des points de torsion à valeurs dans Q) à être maximales. Pour K = Q, la représentation galoisienne est maximale si est seulement si la courbe E est une courbe de Serre, et Nathan Jones [?] a récemment démontré que presque toutes les courbes elliptiques sur Q sont de cette nature. En fait, l’universalité de E(AK ) suit d’hypothèses bien plus faibles, et il n’est pas facile de construire des familles de courbes elliptiques dont le groupe des points adéliques n’est pas universel. Nous donnons un tel exemple à la fin du Chapitre 4. / The present thesis focuses on two questions that are not obviously related. Namely,(1) What does the absolute abelian Galois group AK of an imaginary quadratic number field K look like, as a topological group?(2) What does the adelic point group of an elliptic curve over Q look like, as a topological group?For the first question, the focus on abelian Galois groups provides us with class field theory as a tool to analyze AK . The older work in this area, which goes back to Kubota and Onabe, provides a description of the Pontryagin dual of AK in terms of infinite families, at each prime p, of so called Ulm invariants and is very indirect. Our direct class field theoretic approach shows that AK contains a subgroup UK of finite index isomorphic to the unit group Oˆ∗ of the profinite completion Oˆ of the ring of integers of K, and provides a completely explicit description of the topological group UK that is almost independent of the imaginary quadratic field K. More precisely, for all imaginary quadratic number fields different from Q(i) and Q(√−2), we have UK ∼= U = Zˆ2 × Y Z/nZ. (n=1)The exceptional nature of Q(√−2) was missed by Kubota and Onabe, and their theorems need to be corrected in this respect.Passing from the ‘universal’ subgroup UK to AK amounts to a group extension problem for adelic groups that may be ‘solved’ by passing to a suitable quotient extension involving the maximal Zˆ-free quotientUK/TK of UK . By ‘solved’ we mean that for each K that is sufficiently small to allow explicit class group computations for K, we obtain a practical algorithm to compute the splitting behavior of the extension. In case the quotient extension is totally non-split, the conclusion is that AK is isomorphic as a topological group to the universal group U . Conversely, any splitting of the p-part of the quotient extension at an odd prime p leads to groups AK that are not isomorphic to U . For the prime 2, the situation is special, but our control of it is much greater as a result of the wealth of theorems on 2-parts of quadratic class groups.Based on numerical experimentation, we have gained a basic under- standing of the distribution of isomorphism types of AK for varying K, and this leads to challenging conjectures such as “100% of all imagi- nary quadratic fields of prime class number have AK isomorphic to the universal group U ”.In the case of our second question, which occurs implicitly in [?, Section 9, Question 1] with a view towards recovering a number field K from the adelic point group E(AK ) of a suitable elliptic curve over K, we can directly apply the standard tools for elliptic curves over number fields in a method that follows the lines of the determination of the structure of Oˆ∗ we encountered for our first question.It turns out that, for the case K = Q that is treated in Chapter 4, the adelic point group of ‘almost all’ elliptic curves over Q is isomorphic to a universal groupE = R/Z × Zˆ × Y Z/nZ (n=1)that is somewhat similar in nature to U . The reason for the universality of adelic point groups of elliptic curves lies in the tendency of elliptic curves to have Galois representations on their group of Q-valued torsion points that are very close to being maximal. For K = Q, maximality of the Galois representation of an elliptic curve E means that E is a so-called Serre-curve, and it has been proved recently by Nathan Jones [?] that ‘almost all’ elliptic curves over Q are of this nature. In fact, universality of E(AK ) requires much less than maximality of the Galois representation, and the result is that it actually requires some effort to construct families of elliptic curves with non-universal adelic point groups. We provide an example at the end of Chapter 4.

Nous démontrons deux nouveaux résultats de densité à propos du 16-rang des groupes des classes de corps de nombres quadratiques. Le premier des deux est que le groupe des classes de Q(sqrt{-p}) a un élément d'ordre 16 pour un quart des nombres premiers p qui sont de la forme a^2+c^4 avec c pair. Le deuxième est que le groupe des classes de Q(sqrt{-2p}) a un élément d'ordre 16 pour un huitième des nombres premiers p=-1 (mod 4). Ces résultats de densité sont intéressants pour plusieurs raisons. D'abord, ils sont les premiers résultats non triviaux de densité sur le 16-rang des groupes des classes dans une famille de corps de nombres quadratiques. Deuxièmement, ils prouvent une instance des conjectures de Cohen et Lenstra. Troisièmement, leurs preuves impliquent de nouvelles applications des cribles développés par Friedlander et Iwaniec. Quatrièmement, nous donnons une description explicite du sous-corps du corps de classes de Hilbert de degré 8 de Q(sqrt{-p}) lorsque p est un nombre premier de la forme a^2+c^4 avec c pair; l'absence d'une telle description explicite pour le sous-corps du corps de classes de Hilbert de degré 8 de Q(sqrt{d}) est le frein principal à l'amélioration des estimations de la densité des discriminants positifs d pour lesquels l'équation de Pell négative x^2-dy^2=-1 est résoluble. Dans le cas du deuxième résultat, nous donnons une description explicite d'un élément d'ordre 4 dans le groupe des classes de Q(sqrt{-2p}) et on calcule son symbole d'Artin dans le sous-corps du corps de classes de Hilbert de degré 4 de Q(sqrt{-2p}), généralisant ainsi un résultat de Leonard et Williams. Enfin, nous démontrons un très bon terme d'erreur pour une fonction de comptage des nombres premiers qui est liée au 16-rang du groupe des classes de Q(sqrt{-2p}), donnant ainsi des indications fortes contre une conjecture de Cohn et Lagarias que le 16-rang est contrôlé par un critère de type Chebotarev. / We prove two new density results about 16-ranks of class groups of quadratic number fields. The first of the two is that the class group of Q(sqrt{-p}) has an element of order 16 for one-fourth of prime numbers p that are of the form a^2+c^4 with c even. The second is that the class group of Q(sqrt{-2p}) has an element of order 16 for one-eighth of prime numbers p=-1 (mod 4). These density results are interesting for several reasons. First, they are the first non-trivial density results about the 16-rank of class groups in a family of quadratic number fields. Second, they prove an instance of the Cohen-Lenstra conjectures. Third, both of their proofs involve new applications of powerful sieving techniques developed by Friedlander and Iwaniec. Fourth, we give an explicit description of the 8-Hilbert class field of Q(sqrt{-p}) whenever p is a prime number of the form a^2+c^4 with c even; the lack of such an explicit description for the 8-Hilbert class field of Q(sqrt{d}) is the main obstacle to improving the estimates for the density of positive discriminants d for which the negative Pell equation x^2-dy^2=-1 is solvable. In case of the second result, we give an explicit description of an element of order 4 in the class group of Q(sqrt{-2p}) and we compute its Artin symbol in the 4-Hilbert class field of Q(sqrt{-2p}), thereby generalizing a result of Leonard and Williams. Finally, we prove a power-saving error term for a prime-counting function related to the 16-rank of the class group of Q(sqrt{-2p}), thereby giving strong evidence against a conjecture of Cohn and Lagarias that the 16-rank is governed by a Chebotarev-type criterion.

Neukirch a développé la théorie abstraite du corps des classes dans son livre ``Class Field Theory''. Nous montrons qu'il est possible de déduire la théorie l-adique de Jaulentdu travail de Neukirch. La preuve nécessite, dans les deux cas (le cas local et le cas global) de définir les applications degré, les G-modules, valuations convenables et de prouver l'axiome du corps des classes. } Puis nous montrons qu'en considérant le même objet local, mais cette fois-ci muni de la valuation logarithmique, et en remplaçant l'extension maximale non ramifiée du corps local considéré par la $\mathbb{Z}_{l-extension cyclotomique, la théorie de Neukirch s'applique également, permettant ainsi de définir un symbole local logarithmique et un symbole global.Nous sommes alors en mesure de définir le Frobenius logarithmique associé à une place $\mathfrak{p}$ logarithmiquement non ramifiée, ce qui conduit naturellement à une application d'Artin logarithmique, dont nous étudions le noyau et les propriétés. Cela nécessite au préalable de définir le conducteur logarithmique associé à une $\ell$-extension abélienne finie. Nous introduisons alors les sous-modules de congruences logarithmiques, pour lesquels nous définissons le conducteur logarithmique associé à une classe d'équivalence sur ces modules. Nous prouvons l'égalité entre le conducteur logarithmique global d'une $\ell$-extension et le conducteur de la classe de congruences qui lui est associé. / Neukirch developedabstract class field theoryin his famousbook ``Class Field Theory''. Weshow that it ispossible to derive Jaulent's $\ell$-adic class fieldfrom Neukirch's framework. Theproof requiresin bothcases (local case and global case) to define suitable degree maps, $G$-modules, valuations and to prove the class fieldaxiom. Then we study thelocal object endowed with the logarithmicvaluation introduced by Jaulent and wereplace here the maximal, abelian unramified pro-$\ell$-extension of our local field by the $ {\mathbb{Z}_{\ell}}$-cyclotomic one, and the usualvaluation by the logarithmic one. Weshow that Neukich'sabstract theory appliesin this context, and allows to definea logarithmic local symbol and a global one. This allows to define the logarithmic Frobenius, in the context of the logarithmic ramification, and the logarithmic Artin map. We study its propertiesand its kernel.This requires before to define the logarithmic conductor. Then we introduce logarithmic congruences sub-modules, and the conductor attached to the coset of sucha module. We prove that both conductors coincide.