Die exakte Bestimmung der Dimension invarianter Mengen
dynamischer Systeme ist nur in Ausnahmesituationen möglich.
In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, wie unter
Ausnutzung von speziellen Eigenschaften des dynamischen
Systems die Hausdorff-Dimension zugehöriger invarianter
Mengen nach oben und unten abgeschätzt werden kann.
Es wird gezeigt, wie der Grad der Nichtinjektivität der
Abbildung, die das dynamische System erzeugt, in die
Beschreibung des Deformationsverhaltens von k-Volumina
einbezogen werden kann, so daß eine Abschwächung der
Kontraktionsbedingung für Hausdorff-Maße erreicht werden
kann. Dazu werden äußere Hausdorff-Integrale über beliebige
nichtnegative Funktionen betrachtet, die im Falle der
Integration über charakteristische Funktionen den
gewichteten Hausdorff-Maßen entsprechen. Schrankensätze, die
sich als verallgemeinerte Transformationssätze für Integrale
ergeben, charakterisieren das Verhalten der äußeren
Integrale bei Transformationen. Diese Schrankensätze eignen
sich, um Kontraktionsbedingungen für die äußeren
Hausdorff-Maße und damit Oberschranken für die
Hausdorff-Dimension zu formulieren.
Ein weiterer Teil der Arbeit ist der Abschwächung des
Konzepts der hyperbolischen Mengen gewidmet. Es werden
Mengen mit einer äquivarianten Zerlegung des
Tangentialbündels betrachtet, d. h. mit einer Zerlegung, die
unter der Tangentialabbildung invariant bleibt. Solch eine
Zerlegung ermöglicht die Betrachtung der auf die jeweiligen
Teilbündel eingeschränkten Tangentialabbildung, entweder in
der ursprünglichen Zeitrichtung oder in umgekehrter
Zeitrichtung. Im Gegensatz zu hyperbolischen Mengen werden
hier aber keine Voraussetzungen bezüglich der Streckungs-
und Stauchungseigenschaften der Tangentialabbildung in den
Teilräumen gestellt. Unter diesen abgeschwächten Bedingungen
können für invariante Mengen von Diffeomorphismen und
Flüssen ähnliche obere Dimensionsschranken wie für
hyperbolische Mengen erreicht werden, die sowohl in der
Sprache der Singulärwerte als auch der globalen
Lyapunov-Exponenten der Tangentialabbildung und der
topologischen Entropie der Abbildung formuliert werden
können. Es wird außerdem gezeigt, daß sich die für Systeme
mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels
angewandte Beweistechnik auch auf eine spezielle Klasse
nicht injektiver Abbildungen, die sogenannten
k-1-Endomorphismen, anwenden läßt.
Untere Dimensionsschranken für invariante Mengen dynamischer
Systeme lassen sich in der Regel nur durch das Ausnutzen von
Zusatzstrukturen des Systems ableiten. Die Klasse der
k-1-Endomorphismen weist solche speziellen Strukturen auf.
Die Eigenschaften der invarianten Mengen solcher
Endomorphismen ermöglichen die Konstruktion von Minoranten
für die Hausdorff-Maße ohne Verwendung potentialtheoretischer
Hilfsmittel, aus denen sich eine untere Schranke für die
Hausdorff-Dimension ableiten läßt.
Eine breite Palette von Beispielsystemen demonstriert die
Leistungsfähigkeit der hergeleiteten Abschätzungen der
Hausdorff-Dimension. Insbesondere zählen hierzu
Hufeisenabbildungen, iterierte Funktionensysteme und
Julia-Mengen quadratischer Polynome in der komplexen Ebene.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:17545 |
| Date | 04 December 1998 |
| Creators | Franz, Astrid |
| Contributors | Reitmann, Volker, Technische Universität Chemnitz |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | German |
| Detected Language | German |
| Type | doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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