Un théorème dû à Zak montre un lien pour le moins mystérieux entre des objets algébriques, les algèbres de Jordan, et des objets apparaissant naturellement dans le cadre de la géométrie projective complexe, les variétés de Scorza. La première partie de cette thèse essaie d'expliquer ce lien. Tout d'abord, la variété des éléments de rang de Jordan 1 dans une algèbre de Jordan est définie puis étudiée en détail: c'est une variété de Scorza et elle est l'image d'une généralisation de l'application de Veronese de degré deux. Ensuite, je donne des variantes de la preuve du théorème de Zak qui expliquent directement le lien avec les algèbres de Jordan, mais aussi l'homogénéité des variétés de Scorza et le rapport avec les espaces préhomogènes symétriques. Une technique omniprésente pour cette étude consiste à définir une algèbre par des constructions de géométrie projective: celle-ci permet de définir l'algèbre de Jordan dans laquelle vivent toutes les variétés de Scorza, mais s'applique plus généralement à un grand nombre d'autres algèbres. Par exemple, je donne une définition géométrique des algèbres de matrices, des algèbres de Lie et des algèbres de composition. De nombreux résultats de nature algébrique peuvent ainsi être retrouvés par des raisonnements géométriques particulièrement simples. J'étudie ainsi le groupe d'automorphismes d'une algèbre de Jordan et prouve une description des groupes spinoriels d'ordre pair. L'autre partie de cette thèse montre des théorèmes d'annulation pour les fibrés vectoriels amples. Je propose une généralisation d'un théorème dû à Laytimi et Nahm pour les puissances de Schur d'un fibré vectoriel correspondant à un produit tensoriel de crochets. Je démontre aussi des résultats pour les fibrés vectoriels de petit rang: ceux-ci impliquent une petite partie de la conjecture de Fulton et Lazarsfeld concernant la connexité de lieux de dégénérescence d'un morphisme de fibrés vectoriels. Par ailleurs, j'obtiens aussi des résultats plus forts dans le cas où le fibré est muni d'une forme quadratique non dégénérée ou symplectique à valeurs dans un fibré en droites. Ces résultats sont conséquence de théorèmes sur la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites homogènes sur les grassmanniennes, isotropes ou non. Je donne plusieurs résultats nouveaux concernant cette cohomologie.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00007115 |
| Date | 19 December 2003 |
| Creators | CHAPUT, Pierre-Emmanuel |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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