Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés mathématiques de deux modèles de population : le processus Fleming-Viot généralisé d'une part et le processus de branchement d'autre part. Dans les deux cas, la population est composée d'une infinité d'individus, chacun étant caractérisé par un type génétique. Au cours du temps les fréquences asymptotiques de ces types évoluent de façon aléatoire au travers d'événements de reproduction où un individu tiré aléatoirement donne naissance à une descendance portant le même type génétique. Mathématiquement ces deux modèles sont décrits par des processus aléatoires à valeurs mesures. Afin de donner un sens à la généalogie de la population sous-jacente, plusieurs approches ont été proposées au cours des quinze dernières années. La contribution principale de cette thèse consiste en l'unification de deux constructions : la représentation lookdown définie par Peter Donnelly et Thomas Kurtz en 1999 et les flots stochastiques de ponts (ou de subordinateurs) introduits au début des années 2000 par Jean Bertoin et Jean-François Le Gall. Cette unification nécessite l'introduction d'objets nouveaux (les Eves, les flots stochastiques de partitions) et repose sur une étude fine des comportements asymptotiques des deux modèles mentionnés précédemment. En particulier, nous définissons la propriété d'Eve comme suit : si la fréquence asymptotique d'un type génétique tend vers $1$ lorsque $t$ devient grand alors la population descend asymptotiquement d'un seul individu au temps initial, appelé l'Eve de la population. Dans le cas des processus de branchement nous obtenons une condition nécessaire et suffisante sur le paramètre du modèle (aussi appelé mécanisme de branchement) qui assure que cette propriété d'Eve est vérifiée. Nous obtenons également une classification complète de tous les autres comportements possibles. Dans le cas des processus Fleming-Viot généralisés, nous obtenons une classification partielle des comportements possibles en fonction du paramètre du modèle. Enfin, lorsque la propriété d'Eve est vérifiée, nous construisons de façon trajectorielle la représentation lookdown à partir d'un flot stochastique de ponts (ou de subordinateurs). Nous présentons également une étude complète du processus de branchement explosif conditionné à la non-explosion et faisons apparaître une famille infinie de mesures quasi-stationnaires pour ce processus. Finalement nous nous intéressons au processus des longueurs du coalescent de Kingman dynamique et présentons une construction alternative à celle de Pfaffelhuber, Wakolbinger et Weisshaupt.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00874551 |
| Date | 01 October 2013 |
| Creators | Labbé, Cyril |
| Publisher | Université Pierre et Marie Curie - Paris VI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
Page generated in 0.002 seconds