Sur une variété compacte $(\cal M)$, à tout opérateur de Schrödinger $A = \Delta_g+V$ défini sur l'espace des fonctions sur $(\cal M)$, il est possible, via un procédé que l'on appelle $\zeta-$régularisation, de définir un déterminant de $A$, que nous notons $(\rm det)_\zeta A$. Nous donnons ici principalement deux résultats : le premier prouve que, à chaque tore riemannien $((\cal M),g)$ de dimension $2$, il est possible d'associer une suite $(G_n, \rho_n , \Delta_n)$, où $G_n$ est un graphe fini, qui se plonge dans $(\cal M)$ via $\rho_n$ de telle manière que $\rho_n(G_n)$ soit une triangulation de $(\cal M)$, et où $\Delta_n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $(\cal M)$, la suite de réels $\big( \det \Delta_n +V \big)_(n \in (\Bbb N))$ converge, après renormalisation, vers $(\rm det)_\zeta \big( \Delta_g+V \big)$. Le deuxième donne, sur toute variété riemannienne compacte $((\cal M) , g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$, et sur laquelle le groupe d'isométrie de $g$ agit de manière transitive, un majorant (en précisant le cas d'égalité) du déterminant $(\rm det)_\zeta \big( \Delta_g + V \big)$, lorsque le potentiel $V$ est positif, qui dépend de $g$ et de la moyenne de $V$.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00007117 |
| Date | 17 December 2003 |
| Creators | CHAUMARD, Laurent |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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