Tout le contenu de ce mémoire est un travail en commun de l'auteur et de Xavier Buff.<br /><br />Pour theta nombre de Brjuno, soit r(theta) le rayon conforme du disque de Siegel de P_theta(z)=exp(i.2.pi.theta)z+z^2 et Phi(theta) la variante due à Yoccoz de la somme de Brjuno. Soit Upsilon(theta) = log r(theta) + Phi(theta). <br />Nous avons démontré précédemment que Upsilon possède un prolongement continu à R, et donné une formule explicite pour sa valeur aux rationnels.<br /><br />La conjecture de Marmi-Moussa-Yoccoz, toujours ouverte, est que la fonction Upsilon est 1/2-Höldérienne.<br /><br />Nous démontrons ici que l'exposant ne peut être amélioré : quel que soit l'intervalle I non vide, Upsilon n'est delta-Höldérienne sur I pour aucun delta>1/2. Sa variation sur I est également non bornée.<br />La preuve est basée sur un développement asymptotique en tout p/q de Upsilon(x_n) pour certaines suites de rationnels x_n tendant vers p/q.<br />L'étude d'un point parabolique et de ses perturbations se fait parfois par l'introduction d'un champ de vecteurs auquel la dynamique est comparée.<br />Nous introduisons un champ de vecteurs particulier qui permet d'une part de donner des estimations suffisamment fines pour effectuer le développement asymptotique de Upsilon(x_n) ; d'autre part de proposer une normalisation intéressante des coordonnées de Fatou d'un point parabolique, dont nous donnons quelques propriétés de base.<br />J'ai apporté un soin particulier à la rédaction de l'implosion parabolique, qu'il a fallu raffiner légèrement et adapter à notre champs de vecteurs.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00291673 |
| Date | 23 May 2008 |
| Creators | Chéritat, Arnaud |
| Publisher | Université Paul Sabatier - Toulouse III |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | habilitation ࠤiriger des recherches |
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