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Tout le contenu de ce mémoire est un travail en commun de l'auteur et de Xavier Buff.<br /><br />Pour theta nombre de Brjuno, soit r(theta) le rayon conforme du disque de Siegel de P_theta(z)=exp(i.2.pi.theta)z+z^2 et Phi(theta) la variante due à Yoccoz de la somme de Brjuno. Soit Upsilon(theta) = log r(theta) + Phi(theta). <br />Nous avons démontré précédemment que Upsilon possède un prolongement continu à R, et donné une formule explicite pour sa valeur aux rationnels.<br /><br />La conjecture de Marmi-Moussa-Yoccoz, toujours ouverte, est que la fonction Upsilon est 1/2-Höldérienne.<br /><br />Nous démontrons ici que l'exposant ne peut être amélioré : quel que soit l'intervalle I non vide, Upsilon n'est delta-Höldérienne sur I pour aucun delta>1/2. Sa variation sur I est également non bornée.<br />La preuve est basée sur un développement asymptotique en tout p/q de Upsilon(x_n) pour certaines suites de rationnels x_n tendant vers p/q.<br />L'étude d'un point parabolique et de ses perturbations se fait parfois par l'introduction d'un champ de vecteurs auquel la dynamique est comparée.<br />Nous introduisons un champ de vecteurs particulier qui permet d'une part de donner des estimations suffisamment fines pour effectuer le développement asymptotique de Upsilon(x_n) ; d'autre part de proposer une normalisation intéressante des coordonnées de Fatou d'un point parabolique, dont nous donnons quelques propriétés de base.<br />J'ai apporté un soin particulier à la rédaction de l'implosion parabolique, qu'il a fallu raffiner légèrement et adapter à notre champs de vecteurs.

La synthèse de fréquences est une fonction largement utilisée dans les émetteur-récepteurs radios. En général, la fonction synthèse de fréquence est réalisée à l’aide d’une boucle à verrouillage de phase utilisant des diviseurs de fréquence numériques. Cette thèse présente un nouveau type de diviseur de fréquence faisant appel à des mémoires D et son application à la synthèse de fréquences. Ce nouveau diviseur permet de repousser les limites des diviseurs numériques classiques à bascules D, en matière de fréquence maximale de fonctionnement et de consommation, tout en conservant leur souplesse d’utilisation. La première partie de cette thèse présente les techniques usuelles de réalisation des synthèses de fréquence et des diviseurs de fréquences, ainsi que le nouveau diviseur SRO à base de mémoires D, sujet de ces travaux. Une étude détaillée de ce diviseur est réalisée avec un premier modèle utilisant une approche numérique, puis un second plus réaliste faisant appel à une modélisation de type analogique. Cette étude démontre que ce nouveau diviseur SRO est capable de fonctionner à une fréquence plus élevée ou avec une consommation moindre, tout en réalisant les mêmes facteurs de division, que les diviseurs classiques à bascules D. La dernière partie de cette thèse présente plusieurs implémentations en technologies CMOS et BiCMOS de ST Microelectronics du diviseur SRO. En particulier son implémentation dans deux synthétiseurs de fréquences fractionnaires à 24 GHz montre son intérêt de part la réduction significative de consommation obtenue, tout en conservant une structure simple utilisant une surface de silicium réduite / Frequency synthesis is almost used in all RF transceivers, where this function is usually achieved by using phase-locked-loop circuits. Most often, the phase-locked-loop includes digital frequency dividers in the feedback that present high power dissipation and low maximum frequency at gigahertz frequencies. This thesis presents a versatile new D latch-based divider that improves these issues and its application to frequency synthesis. The first part presents several frequency synthesis techniques and theirs main characteristics. Then is described various classical frequency dividers and the proposed new D latch-based SRO divider. A detailed study of the SRO divider is presented with two approaches, the digital one and the analogue one. This study demonstrates the benefit of the SRO divider in terms of power dissipation and speed compared with the widely used D flip-flop based dividers. The last part presents several implementations of the SRO divider in CMOS and BiCMOS processes of ST Microelectronics. Particularly, the SRO divider was implemented in two 24 GHz fractional synthesizers, where it demonstrates its interest for reduction of power dissipation while using small silicon area.

Nous nous intéressons à la linéarisation de certaines familles de germes analytiques. En généralisant les définitions et propriétés du diamètre transfini, nous obtenons un théorème de majoration polynomiale valable à la fois pour les nombres complexes et p-adiques. Nous utilisons ensuite ces outils pour donner une nouvelle démonstration du théorème de Perez-Marco concernant la linéarisation des familles non résonantes de germes analytiques qui subissent une perturbation polynomiale. Cette nouvelle preuve permet de démontrer un analogue du théorème de Perez-Marco dans le cadre p-adique. De plus, cette nouvelle technique nous permet de récupérer une information diophantienne et donne de nouveaux exemples de germes non linéarisables. Nous généralisons ensuite ce théorème au cas des perturbations par des fractions rationnelles et finissons par étudier un cas résonant et retrouvons, de façon élémentaire, certaines propriétés concernant le centralisateur des germes tangents à l'identité.

Ce travail se divise en deux parties. Dans la première partie, nous généralisons le travail de Khuri-Makdisi qui décrit des algorithmes pour l'arithmétique des diviseurs sur une courbe sur un corps. Nous montrons que les analogues naturelles de ses résultats se vérifient pour les diviseurs de Cartier relatifs effectifs sur un schéma projectif, lisse et de dimension relative un sur un schéma affine noetherien quelconque, et que les analogues naturelles de ses algorithmes se vérifient pour une certaine classe d'anneaux de base. Nous présentons un formalisme pour tels anneaux qui sont caractérisés par l'existence d'un certain sous-ensemble des opérations standards de l'algèbre linéaire pour les modules projectifs sur ces anneaux.Dans la deuxième partie de ce travail, nous considérons un type de problème de Riemann-Roch pour les diviseurs sur certaines surfaces algébriques. Plus précisément, nous analysons les surfaces algébriques qui émanent d'un produit ou d'un produit symétrique d'une courbe hyperelliptique de genre supérieur à un sur un corps (presque) arbitraire. Les résultats principaux sont une décomposition des espaces de sections globales de certains diviseurs sur telles surfaces et des formules explicites qui décrivent les dimensions des espaces de sections de ces diviseurs. Dans le dernier chapitre, nous présentons un algorithme qui produit une base pour l'espace de sections globales d'un tel diviseur. / The contribution of this thesis is divided naturally into two parts. In Part I we generalise the work of Khuri-Makdisi (2004) on algorithms for divisor arithmetic on curves over fields to more general bases. We prove that the natural analogues of the results of Khuri-Makdisi continue to hold for relative effective Cartier divisors on projective schemes which are smooth of relative dimension one over an arbitrary affine Noetherian base scheme and that natural analogues of the algorithms remain valid in this context for a certain class of base rings. We introduce a formalism for such rings,which are characterised by the existence of a certain subset of the usual linear algebra operations for projective modules over these rings.Part II of this thesis is concerned with a type of Riemann-Roch problem for divisors on certain algebraic surfaces. Specifically we consider algebraic surfaces arising as the square or the symmetric square of a hyperelliptic curve of genus at least two over an (almost) arbitrary field. The main results are a decomposition of the spaces of global sections of certain divisors on such surfaces and explicit formulæ for the dimensions of the spaces of sections of these divisors. In the final chapter we present an algorithm which generates a basis for the space of global sections of such a divisor.

Ce travail est consacré à l'étude de trois problèmes liés à l'évaluation de sommes de fonctions multiplicatives sur les entiers friables. On dit qu'un nombre entier n est y-friable si son plus grand facteur premier P(n) n'excède pas y. Dans une première partie, nous considérons une fonction multiplicative aléatoire au sens de Wintner, c'est-à-dire une fonction arithmétique multiplicative f supportée par les entiers sans facteur carré, telle que, pour tout entier premier p, f(p) est une variable aléatoire de Bernoulli prenant les valeurs +1 et -1 avec probabilité 1/2. Dans la continuité de travaux de Wintner, Erdös, Halasz, Lau, Tenenbaum et Wu, notre étude est dédiée à l'obtention d'une majoration presque sûre de la fonction sommatoire de f sur les entiers y-friables n'excédant pas x. Un second volet est dévolu à l'évaluation asymptotique des fonctions sommatoires de certaines fonctions multiplicatives, notamment la fonction phi d'Euler, sur les translatés des entiers friables. La méthode employée fait appel à des résultats de répartition des entiers friables dans les progressions arithmétiques. La troisième partie consiste en une étude de la loi moyenne de répartition des diviseurs des entiers friables. Nous établissons le glissement, lorsque le paramètre de friabilité u = (log x)/log y croît, depuis la loi de l'arcsinus (établie en 1979 dans les travaux de Dress, Deshouillers et Tenenbaum) jusqu'à une loi approximativement gaussienne. La loi limite obtenue s'exprime au moyen d'une convolution faisant apparaître les fonctions de Dickman / This dissertation is devoted to studying three problems, all linked to estimates for sums of multiplicative functions over friable integers. An integer n is called y-friable if its largest prime factor P(n) does not exceed y. In a first part, we consider a random multiplicative function in the sense of Wintner, i.e. a multiplicative arithmetic function f supported on squarefree integers and such that, for each prime p, f(p) is a Bernoulli random variable taking each value +1 and -1 with probability 1/2. Elaborating on previous works by Wintner, Erdös, Halasz, Lau, Tenenbaum and Wu, we investigate upper bounds for the summatory function of f over y-friable integers not exceeding x. In the second part, we provide asymptotic estimates for sums of certain multiplicative functions, including Euler's totient, over shifted friable integers. This study depends on the distribution of friable integers in arithmetic progressions. In the third part, we consider a friable extension of the Arcsine law for the mean distribution of the divisors of integers. The original study is due to Deshouillers, Dress and Tenenbaum (1979). We describe the limit law in terms of the Dickman functions and we show that, as the friability parameter u = (log x)/log y increases, the mean distribution drifts from the Arcsine law towards a Gaussian behaviour

La production de champs électromagnétiques intenses semble être, aujourd'hui, une application majeure des systèmes générateurs de fortes puissances électriques pulsées. La simplicité de mise en œuvre d'une solution « tout électrique » permet des adaptations expérimentales et une maintenance aisée, ce qui en fait un choix technologique privilégié. Dans ce contexte, nous avons développés, avec l'appui de THALES, deux sources impulsionnelles subnanosecondes récurrentes fondées sur l'utilisation de générateurs haute tension à fronts raides de type Marx, et des diviseurs capacitifs adaptés à la mesure de ces transitoires rapides en haute tension. Chacune de ces sources pulsées compactes est pilotée par un chargeur autonome et est associée à une antenne d'émission ultra large bande pour former un dispositif d'émission d'ondes de forte puissance. En collaboration avec le laboratoire XLIM, une antenne à ondes progressives existante a été modifiée pour supporter les fortes puissances mises en jeu. Les deux dispositifs d'émission complets ainsi constitués ont été caractérisés. Les facteurs de mérite (produit de l'amplitude du champ rayonné par la distance à laquelle il est mesuré) atteints sont de 223kV pour le premier dispositif et 436kV pour le second.

La théorie classique des formes normales a pour but de simplifier des problèmes compliqués grâce à des changements de coordonnées réguliers pour ne conserver que les caractéristiques dynamiques du système. Plus précisément, on considère un système dynamique que l'on dit "élémentaire", comme par exemple la partie linéaire d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point singulier, et on se donne une perturbation de ce système élémentaire. Les formes normales sont alors l'ensemble des représentants de ces perturbations à la conjugaison près d'une transformation régulière. Elles ne sont constituées que des termes qui caractérisent la dynamique du système perturbé et que l'on appelle "résonances". Dans la première partie de la thèse on cherche à comprendre la dynamique locale d'équations différentielles implicites de la forme F(x,y,y')=0, où F est un germe de fonction holomorphe au voisinage d'un point singulier. Pour cela on utilise la relation intime entre les systèmes implicites et les champs liouvilliens. La classification par transformation de contact des équations implicites provient de la classification symplectique des champs liouvilliens. On utilise alors toute la théorie des formes normales pour les champs de vecteurs, dans le cas holomorphe (Brjuno, Siegel, Stolovitch) et dans le cas réel (Sternberg), que l'on adapte pour les champs liouviliens avec des transformations symplectiques. On établit alors des résultats de classification des équations implicites en fonction des invariants dynamiques, ainsi que des conditions d'existence de solutions locales via les formes normales. / The aim of the classical theory of normal forms is to simplify complicated problems by using regular changes of coordinates, in order to keep the dynamical characteristics of the system. More precisely, we consider a dynamic system said to be "elementary", like a linear part of a vector field in the neighborhood of a singular point, and we focus on a perturbation of this elementary system. Normal forms are the set of all representatives of those perturbations under the action of the group of regular transformation. They are composed of terms which caracterise the dynamics of the perturbed system, and which are called "resonances". In the first part, we try to understand the local dynamic of implicit equations of the form $F(x,y,y')=0$, where $F$ is a germ of holomorphic function in a neighborhood of a singular point. To this end we use the relation between implicit systems and liouvillian vector fields. The classification by contact transformations of implicit equations come from the symplectic classification of liouvillian vector fields. We use all normal forms theory for vector fields, in complex case (Bjruno, Siegel, Stolovitch), and in real case (Sternberg), adapted to liouvillian fields with symplectic transformations. We establish classification results for implicit equations according to the dynamical invariants, and existence conditions of local solutions using normal forms. In the second part, we undertake the normalization of an analytic vector field in a neighborhood of the torus. Brjuno enunciates a theorem of normalization, under conditions of control of small divisors and integrability of the normal forms ; however he doesn't give any proof of that theorem.

Le cadre du travail présenté dans cette thèse est celui de la théorie équivariante des courbes, c'est-à-dire l'étude des courbes munies d'une action d'un groupe G, qu'on considère toujours fini. Le résultat essentiel est un théorème de Riemann-Roch à valeurs dans l'anneau des caractères du groupe considéré, et qui relève le théorème classique. Il est obtenu pour des G-faisceaux de rang quelconque grâce à l'introduction d'un groupe de diviseurs à coefficients équivariants qui permet en particulier de définir le déterminant et le degré d'un tel faisceau. On applique ce théorème au calcul de structures galoisiennes d'origine géométrique.

Dans ce travail, les équations moyennes des mouvements planétaires sont calculées à un ordre élevé grâce à une programmation en calcul formel dédié. Le système résultant comprend plus de 150 000 termes polynomiaux et fournit une très bonne approximation de l'évolution à long terme du système solaire. Le système d'équations est développé à ordre 2 dans les masses et l'ordre 5 en excentricité et inclinaison. le système de degré 3 est intégré analytiquement au premier ordre ce qui fournit une solution de plus de 25 000 termes. Le problème des petits diviseurs séculaires est discuté et une liste de petits diviseurs de grande amplitude dans la solution est donnée, le terme principal étant lié à l'argument $ g_1-g_5 + (s_2-s_1) $ qui intervient dans l'excentricité de Mercure et de Jupiter, et dans l'inclinaison de Mercure et de Vénus. Il est démontré que la présence de ces diviseurs compromet grandement la construction d'une solution analytique, sans tenir compte du fait que la même solution de degré 5 comprend plus de 3 000 000 termes. Les équations séculaires sont ensuite intégrées numériquement d'une façon très efficace sur plus de 1 million d'années, avec un pas de 500 ans pour toutes les planètes, après avoir rajouté la contribution moyenne de la relativité générale et de la Lune. Par comparaison avec les éphémérides DE102 sur plus de 3000 ans, il est démontré que les équations séculaires représentent très bien l'évolution à long terme du système solaire.