La dynamique semi-classique d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété est l'analogue quantique du flot classique de son symbole principal sur la variété . Cette dynamique semi-classique est décrite par l'équation de Schrödinger de l'opérateur ; alors que le flot classique hamiltonien est, lui, donné par les équations d'Hamilton associées a la fonction . Le spectre de l'opérateur pseudo-différentiel permet donc de pouvoir décrire les solutions générales en fonction du temps de l'équation de Schrödinger associée. Le comportement en temps long de la dynamique semi-classique donnée par ces solutions reste cependant sur bien des points mystérieux. La dynamique semi-classique dépend donc directement du spectre de l'opérateur et aussi par conséquent de la géométrie sous jacente dans induite par la fonction symbole classique . Dans cette thèse, on décrit d'abord la dynamique semi-classique en temps long dans le cas de la dimension 1 avec une fonction symbole n'ayant pas de singularité ou bien avec une singularité non-dégénérée de type elliptique : le feuilletage dans de est alors elliptique. Les règles de Bohr-Sommerfeld régulières fournissent alors le spectre d'un tel opérateur. On traite aussi le cas de la dimension 2 qui nous amène à quelques discussions de théorie de nombres. Pour finir, on s'intéresse au cas d'un opérateur pseudo-différentiel avec une singularité non-dégénérée de type hyperbolique : le feuilletage dans de est alors un ”huit hyperbolique ” (modèle difféomorphe au Schrödinger avec un potentiel double puits).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00439641 |
| Date | 04 December 2009 |
| Creators | Lablée, Olivier |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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