Sejam D um anel com divisão de centro infinito K e C um subcorpo infinito de K. Se a dimensão de D sobre K é infinita, provaremos que uma identidade racional (com coeficientes em C) é válida em D se e somente se é válida em todos os anéis Mn(C) das matrizes n x n sobre C, para qualquer n positivo. Para tais fins, exporemos a teoria de identidades racionais em sua forma original, proposta por Amitsur (Journal of Algebra, 1966). Os resultados obtidos serão usados em duas aplicações. Inicialmente, mostraremos que o grupo multiplicativo de D não satisfaz identidades de grupo não triviais. Em seguida, construiremos um anel com divisão de todas as funções racionais em D, o qual denotaremos por CD(x), cuja estrutura depende apenas da dimensão de D sobre K. Quando a dimensão de D sobre K é infinita, vamos mostrar que CD(x) = C(x) pode ser compreendido como um anel universal de frações da álgebra livre com unidade sobre C gerada por infinitas indeterminadas não comutativas x1, x2... . Enfatizamos que existe uma versão em língua inglesa do presente trabalho. / Let D be a division ring with infinite center K and let C be an infinite subfield of K. If the dimension of D over K is infinite, we shall prove that a rational identity (with coefficients in C) holds in D if and only if it is a rational identity holding in every ring Mn(C) of n x n matrices over C, for all positive n. In order to do that, we shall expose the theory of rational identities in its original form, proposed by Amitsur (Journal of Algebra, 1966). The results we are to obtain will be used in two major applications. Firstly, we will show that the multiplicative group of D does not satisfy a non-trivial group identity. Afterwards, we construct a division ring of all rational functions in D, which we denote by CD(x), whose structure depends only on the dimension of D over K. When the dimension of D over K is infinite, we show that CD(x) = C(x) may be understood as an universal ring of fractions of the free unitary algebra over C generated by infinite noncommutative indeterminates x1, x2... . We emphasize that there exists an English version of the whole text.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-15072015-143422 |
| Date | 15 May 2015 |
| Creators | Pedro Russo de Oliveira |
| Contributors | Jairo Zacarias Goncalves, Vitor de Oliveira Ferreira, Daniel Levcovitz |
| Publisher | Universidade de São Paulo, Matemática, USP, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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