Thesis (Ph. D.)--Oregon State University, 1976. / Typescript (photocopy). Includes bibliographical references. Also available on the World Wide Web.

Thesis (Ph. D.)--University of Wisconsin--Madison, 1955. / Typescript. Vita. eContent provider-neutral record in process. Description based on print version record. Includes bibliographical references.

An interesting thing happens when one begins with the axioms of a field, but does not require the associative and commutative properties. The resulting nonassociative division ring is referred to as a ``semifield" in this paper. Semifields have intimate ties to finite projective planes. In short, a finite projective plane with certain restrictions gives rise to a semifield, and, in turn, a finite semifield can be used via a coordinate construction, to build a special finite projective plane. It is also shown that two finite semifields provide a coordinate system for isomorphic projective planes if and only if the semifields are isotopic, where isotopy is a relationship similar to but weaker than isomorphism. Before we prove those results, we explore the nature of isotopy to get a little better feel for the concept. For example, we look at isotopy for associative algebras. We will also examine a particular family of semifields and gather concrete information about solutions to linear equations and isomorphisms. / Master of Science

Sejam D um anel com divisão de centro infinito K e C um subcorpo infinito de K. Se a dimensão de D sobre K é infinita, provaremos que uma identidade racional (com coeficientes em C) é válida em D se e somente se é válida em todos os anéis Mn(C) das matrizes n x n sobre C, para qualquer n positivo. Para tais fins, exporemos a teoria de identidades racionais em sua forma original, proposta por Amitsur (Journal of Algebra, 1966). Os resultados obtidos serão usados em duas aplicações. Inicialmente, mostraremos que o grupo multiplicativo de D não satisfaz identidades de grupo não triviais. Em seguida, construiremos um anel com divisão de todas as funções racionais em D, o qual denotaremos por CD(x), cuja estrutura depende apenas da dimensão de D sobre K. Quando a dimensão de D sobre K é infinita, vamos mostrar que CD(x) = C(x) pode ser compreendido como um anel universal de frações da álgebra livre com unidade sobre C gerada por infinitas indeterminadas não comutativas x1, x2... . Enfatizamos que existe uma versão em língua inglesa do presente trabalho. / Let D be a division ring with infinite center K and let C be an infinite subfield of K. If the dimension of D over K is infinite, we shall prove that a rational identity (with coefficients in C) holds in D if and only if it is a rational identity holding in every ring Mn(C) of n x n matrices over C, for all positive n. In order to do that, we shall expose the theory of rational identities in its original form, proposed by Amitsur (Journal of Algebra, 1966). The results we are to obtain will be used in two major applications. Firstly, we will show that the multiplicative group of D does not satisfy a non-trivial group identity. Afterwards, we construct a division ring of all rational functions in D, which we denote by CD(x), whose structure depends only on the dimension of D over K. When the dimension of D over K is infinite, we show that CD(x) = C(x) may be understood as an universal ring of fractions of the free unitary algebra over C generated by infinite noncommutative indeterminates x1, x2... . We emphasize that there exists an English version of the whole text.

Sejam D um anel com divisão de centro infinito K e C um subcorpo infinito de K. Se a dimensão de D sobre K é infinita, provaremos que uma identidade racional (com coeficientes em C) é válida em D se e somente se é válida em todos os anéis Mn(C) das matrizes n x n sobre C, para qualquer n positivo. Para tais fins, exporemos a teoria de identidades racionais em sua forma original, proposta por Amitsur (Journal of Algebra, 1966). Os resultados obtidos serão usados em duas aplicações. Inicialmente, mostraremos que o grupo multiplicativo de D não satisfaz identidades de grupo não triviais. Em seguida, construiremos um anel com divisão de todas as funções racionais em D, o qual denotaremos por CD(x), cuja estrutura depende apenas da dimensão de D sobre K. Quando a dimensão de D sobre K é infinita, vamos mostrar que CD(x) = C(x) pode ser compreendido como um anel universal de frações da álgebra livre com unidade sobre C gerada por infinitas indeterminadas não comutativas x1, x2... . Enfatizamos que existe uma versão em língua inglesa do presente trabalho. / Let D be a division ring with infinite center K and let C be an infinite subfield of K. If the dimension of D over K is infinite, we shall prove that a rational identity (with coefficients in C) holds in D if and only if it is a rational identity holding in every ring Mn(C) of n x n matrices over C, for all positive n. In order to do that, we shall expose the theory of rational identities in its original form, proposed by Amitsur (Journal of Algebra, 1966). The results we are to obtain will be used in two major applications. Firstly, we will show that the multiplicative group of D does not satisfy a non-trivial group identity. Afterwards, we construct a division ring of all rational functions in D, which we denote by CD(x), whose structure depends only on the dimension of D over K. When the dimension of D over K is infinite, we show that CD(x) = C(x) may be understood as an universal ring of fractions of the free unitary algebra over C generated by infinite noncommutative indeterminates x1, x2... . We emphasize that there exists an English version of the whole text.

Orientador: Antonio Jose Engler / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T18:05:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dario_RoniePeterson_D.pdf: 1951766 bytes, checksum: afa64043636e06c86924e24d6fe65f43 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Esta tese é um estudo das propriedades aritméticas de corpos que possuem um anel de valorização compatível com o Radical de Kaplansky. São utilizados os métodos da teoria algébrica das formas quadráticas, teoria de Galois e principalmente, a teoria de valorizações em corpos. Apresentamos um novo método para a construção de corpos com Radical de Kaplansky não trivial. Demonstramos uma versão do Teorema 90 de Hilbert para o radical. Para uma álgebra quaterniônica D, demonstramos que um anel de valorização do centro de D possui extensão para um anel de valorização total e invariante de D se, e somente se, for compatível com o Radical de Kaplansky / Abstract: This thesis is a study of the arithmetical properties of fields with a valuation ring compatible with the Kaplansky¿s Radical. The methods utilized are algebraic theory of quadratic forms, Galois theory and valuation theory over fields. We present a new construction method of fields with non-trivial Kaplansky¿s Radical. We also prove a version of the Hilbert¿s 90 Theorem for the radical. Let D a quaternion algebra and F the center of D. A valuation ring of F has a extension to a total and invariant valuation ring of D iff is compatible with the Kaplansky¿s Radical / Doutorado / Algebra / Doutor em Matemática

Orientadores: Antonio José Engler, Adrian Roscoe Wadsworth / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-19T04:54:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ferreira_MauriciodeAraujo_D.pdf: 1468385 bytes, checksum: 5379cb7621a86850c4016ed524805e3f (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Nesta tese estudamos a relação entre duas teorias de valorização não-comutativas: anéis de valorização de Dubrovin e gauges. Os anéis de valorização de Dubrovin foram introduzidos em 1982, como uma generalização para anéis artinianos simples dos anéis de valorização invariantes em álgebras de divisão. Gauges são funções como valorizações, que podem ser definidas não só em álgebra de divisão, mas mais geralmente em álgebras simples e até mesmo semi-simples, de dimensão finita sobre corpos valorizados. Gauges foram introduzidas muito mais recentemente em 2010 por Tignol e Wadsworth. Assim como em valorizações de corpos, podemos definir um anel associado a uma gauge, que chamamos de anel da gauge. Propriedades aritméticas do anel da gauge são estudadas. Mostramos que o anel de uma gauge é sempre uma ordem semi-local integral sobre seu centro. Também descrevemos o anel da gauge com relação a composição de gauges e extensão de escalares. Introduzimos o conceito de gauge minimal em álgebras centrais simples, que são gauges cuja parte de grau zero da álgebra graduada associada tem o menor número possível de componentes simples. Mostramos que o anel de uma gauge minimal coincide com a interseção de uma família de anéis de valorização de Dubrovin, satisfazendo uma propriedade adicional, que foi introduzida por Gräter em 1992, e que é chamada de propriedade da interseção. Reciprocamente, se for dada uma família de anéis de valorização de Dubrovin, satisfazendo a propriedade da interseção, então existe uma gauge minimal associada, assumindo-se que a valorização de centro tem posto finito. O passo fundamental nesse sentido foi obtermos um teorema de existência de gauges minimais em álgebras centrais simples sobre corpos com uma valorização de posto finito. Além disso, generalizamos para álgebras simples, não necessariamente centrais, um resultado de Tignol e Wadsworth que relaciona gauges com certas funções valorização introduzidas por Morandi em 1989 e que estão associadas aos anéis de valorização de Dubrovin integrais sobre o centro. Como consequência desse último resultado, obtivemos um teorema de existência de gauges em álgebras semi-simples de dimensão finita sobre um corpo com uma valorização de posto 1 / Abstract: In this thesis work we study the connection between two theories of noncommutative valuation: Dubrovin valuation rings and gauges. Dubrovin valuation rings were introduced in 1982 as a generalization of invariant valuation rings to Artinian simple rings. Gauges are valuation-like maps that can be defined not only on division algebras, but more generally, on finite-dimensional semisimple algebras over valued fields. Gauges were introduced much more recently in 2010 by Tignol and Wadsworth. Just as for valuations on fields, we can define a ring associated to a gauge, which we call gauge ring. Arithmetic properties of the gauge ring are studied. We show that the gauge ring is always a semi-local order integral over its center. We also describe the gauge ring with respect to composition of gauges and scalar extension. We introduce the concept of minimal gauge on central simple algebras, which are gauges that the degree zero part of the associated graded ring has the least number of simple components. We show that the ring of a minimal gauge is an intersection of a family of Dubrovin valuation rings having the intersection property. The intersection property was introduced by Gräter in 1992. We also proved that if we start with a family of Dubrovin valuation rings having the intersection property, then there exist a minimal gauge associated, assuming that the valuation of the center has finite rank. In this direction, our main result is an existence theorem of minimal gauges on central simple algebra over a field with a finite rank valuation. We also generalize for simple algebras, non-necessarily central, a result of Tignol and Wadsworth which relate gauges with certain value functions introduced by Morandi in 1989. This value functions are associated to Dubrovin valuation rings integral over its center. As a consequence of this last result, we obtain an existence theorem of gauges on finite dimensional semisimple algebras over a field with a rank one valuation / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática