The aim of this paper is to investigate the known nonuniform version of Esseen's inequality in the Lp-metric, to get a numerical bound for the appearing constant L.
For a long time the results given by several authors constate the impossibility of a nonuniform estimation in the most interesting case δ=1, because the effect L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, was observed, where 2+δ, 0<δ<1, is the order of the assumed moments of the considered independent random variables X_k, k=1,2,...,n. Again making use of the method of conjugated distributions, we improve the well-known technique to show in the most interesting case δ=1 the finiteness of the absolute constant L and to prove L=L(1)=<127,74*7,31^(1/p), p>1.
In the case 0<δ<1 we only give the analytical structure of L but omit numerical calculations. Finally an example on normal approximation of sums of l_2-valued random elements demonstrates the application of the nonuniform mean central limit bounds obtained here. / Das Anliegen dieses Artikels besteht in der Untersuchung einer bekannten Variante der Esseen'schen Ungleichung in Form einer ungleichmäßigen Fehlerabschätzung in der Lp-Metrik mit dem Ziel, eine numerische Abschätzung für die auftretende absolute Konstante L zu erhalten.
Längere Zeit erweckten die Ergebnisse, die von verschiedenen Autoren angegeben wurden, den Eindruck, dass die ungleichmäßige Fehlerabschätzung im interessantesten Fall δ=1 nicht möglich wäre, weil auf Grund der geführten Beweisschritte der Einfluss von δ auf L in der Form L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, beobachtet wurde, wobei 2+δ, 0<δ<1, die Ordnung der vorausgesetzten Momente der betrachteten unabhängigen Zufallsgrößen X_k, k=1,2,...,n, angibt.
Erneut wird die Methode der konjugierten Verteilungen angewendet und die gut bekannte Beweistechnik verbessert, um im interessantesten Fall δ=1 die Endlichkeit der absoluten Konstanten L nachzuweisen und um zu zeigen, dass L=L(1)=<127,74*7,31^(1/p), p>1, gilt.
Im Fall 0<δ<1 wird nur die analytische Struktur von L herausgearbeitet, jedoch ohne numerische Berechnungen. Schließlich wird mit einem Beispiel zur Normalapproximation von Summen l_2-wertigen Zufallselementen die Anwendung der gewichteten Fehlerabschätzung im globalen zentralen Grenzwertsatz demonstriert.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa.de:bsz:14-qucosa-112888 |
| Date | 25 June 2013 |
| Creators | Paditz, Ludwig |
| Contributors | Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden, Fakultät Informatik / Mathematik |
| Publisher | Saechsische Landesbibliothek- Staats- und Universitaetsbibliothek Dresden |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doc-type:workingPaper |
| Format | application/pdf |
| Relation | dcterms:isPartOf:Preprint / Karl-Weierstrass-Institut für Mathematik ; 88,26 |
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