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1	On the error-bound in the nonuniform version of Esseen's inequality in the Lp-metric Paditz, Ludwig 25 June 2013 (has links) (PDF) The aim of this paper is to investigate the known nonuniform version of Esseen's inequality in the Lp-metric, to get a numerical bound for the appearing constant L. For a long time the results given by several authors constate the impossibility of a nonuniform estimation in the most interesting case δ=1, because the effect L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, was observed, where 2+δ, 0<δ<1, is the order of the assumed moments of the considered independent random variables X_k, k=1,2,...,n. Again making use of the method of conjugated distributions, we improve the well-known technique to show in the most interesting case δ=1 the finiteness of the absolute constant L and to prove L=L(1)=<127,747,31^(1/p), p>1. In the case 0<δ<1 we only give the analytical structure of L but omit numerical calculations. Finally an example on normal approximation of sums of l_2-valued random elements demonstrates the application of the nonuniform mean central limit bounds obtained here. / Das Anliegen dieses Artikels besteht in der Untersuchung einer bekannten Variante der Esseen'schen Ungleichung in Form einer ungleichmäßigen Fehlerabschätzung in der Lp-Metrik mit dem Ziel, eine numerische Abschätzung für die auftretende absolute Konstante L zu erhalten. Längere Zeit erweckten die Ergebnisse, die von verschiedenen Autoren angegeben wurden, den Eindruck, dass die ungleichmäßige Fehlerabschätzung im interessantesten Fall δ=1 nicht möglich wäre, weil auf Grund der geführten Beweisschritte der Einfluss von δ auf L in der Form L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, beobachtet wurde, wobei 2+δ, 0<δ<1, die Ordnung der vorausgesetzten Momente der betrachteten unabhängigen Zufallsgrößen X_k, k=1,2,...,n, angibt. Erneut wird die Methode der konjugierten Verteilungen angewendet und die gut bekannte Beweistechnik verbessert, um im interessantesten Fall δ=1 die Endlichkeit der absoluten Konstanten L nachzuweisen und um zu zeigen, dass L=L(1)=<127,747,31^(1/p), p>1, gilt. Im Fall 0<δ<1 wird nur die analytische Struktur von L herausgearbeitet, jedoch ohne numerische Berechnungen. Schließlich wird mit einem Beispiel zur Normalapproximation von Summen l_2-wertigen Zufallselementen die Anwendung der gewichteten Fehlerabschätzung im globalen zentralen Grenzwertsatz demonstriert. Normalapproximation globaler zentraler Grenzwertsatz Lp-Metrik ungleichmäßige Abschätzung Konstantenabschätzung normal approximation global central limit theorem Lp-metric nonuniform estimation estimate of constant ddc:510 rvk:SK 800
2	On the error-bound in the nonuniform version of Esseen''s inequality in the Lp-metric Paditz, Ludwig 25 June 2013 (has links) The aim of this paper is to investigate the known nonuniform version of Esseen''s inequality in the Lp-metric, to get a numerical bound for the appearing constant L. For a long time the results given by several authors constate the impossibility of a nonuniform estimation in the most interesting case δ=1, because the effect L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, was observed, where 2+δ, 0<δ<1, is the order of the assumed moments of the considered independent random variables X_k, k=1,2,...,n. Again making use of the method of conjugated distributions, we improve the well-known technique to show in the most interesting case δ=1 the finiteness of the absolute constant L and to prove L=L(1)=<127,747,31^(1/p), p>1. In the case 0<δ<1 we only give the analytical structure of L but omit numerical calculations. Finally an example on normal approximation of sums of l_2-valued random elements demonstrates the application of the nonuniform mean central limit bounds obtained here.:1. Introduction S. 3 2. The nonuniform version of ESSEEN''s Inequality in the Lp-metrie S. 4 3. The partition of the domain of integration S. 5 4. The domain of moderate x S. 8 5. An error bound for large values of L2+δ,n S. 12 6. The proof of the inequality (2.1) S. 13 7. An application to normalapproximation of sums of l2-valued random elements S. 14 References S. 18 / Das Anliegen dieses Artikels besteht in der Untersuchung einer bekannten Variante der Esseen''schen Ungleichung in Form einer ungleichmäßigen Fehlerabschätzung in der Lp-Metrik mit dem Ziel, eine numerische Abschätzung für die auftretende absolute Konstante L zu erhalten. Längere Zeit erweckten die Ergebnisse, die von verschiedenen Autoren angegeben wurden, den Eindruck, dass die ungleichmäßige Fehlerabschätzung im interessantesten Fall δ=1 nicht möglich wäre, weil auf Grund der geführten Beweisschritte der Einfluss von δ auf L in der Form L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, beobachtet wurde, wobei 2+δ, 0<δ<1, die Ordnung der vorausgesetzten Momente der betrachteten unabhängigen Zufallsgrößen X_k, k=1,2,...,n, angibt. Erneut wird die Methode der konjugierten Verteilungen angewendet und die gut bekannte Beweistechnik verbessert, um im interessantesten Fall δ=1 die Endlichkeit der absoluten Konstanten L nachzuweisen und um zu zeigen, dass L=L(1)=<127,747,31^(1/p), p>1, gilt. Im Fall 0<δ<1 wird nur die analytische Struktur von L herausgearbeitet, jedoch ohne numerische Berechnungen. Schließlich wird mit einem Beispiel zur Normalapproximation von Summen l_2-wertigen Zufallselementen die Anwendung der gewichteten Fehlerabschätzung im globalen zentralen Grenzwertsatz demonstriert.:1. Introduction S. 3 2. The nonuniform version of ESSEEN''s Inequality in the Lp-metrie S. 4 3. The partition of the domain of integration S. 5 4. The domain of moderate x S. 8 5. An error bound for large values of L2+δ,n S. 12 6. The proof of the inequality (2.1) S. 13 7. An application to normalapproximation of sums of l2-valued random elements S. 14 References S. 18 info:eu-repo/classification/ddc/510 ddc:510
3	Beiträge zur expliziten Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz Paditz, Ludwig 04 June 2013 (has links) (PDF) In der Arbeit wird das asymptotische Verhalten von geeignet normierten und zentrierten Summen von Zufallsgrößen untersucht, die entweder unabhängig sind oder im Falle der Abhängigkeit als Martingaldifferenzfolge oder stark multiplikatives System auftreten. Neben der klassischen Summationstheorie werden die Limitierungsverfahren mit einer unendlichen Summationsmatrix oder einer angepaßten Folge von Gewichtsfunktionen betrachtet. Es werden die Methode der charakteristischen Funktionen und besonders die direkte Methode der konjugierten Verteilungsfunktionen weiterentwickelt, um quantitative Aussagen über gleichmäßige und ungleichmäßige Restgliedabschätzungen in zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. Die Untersuchungen werden dabei in der Lp-Metrik, 1<p<oo oder p=1 bzw. p=oo, durchgeführt, wobei der Fall p=oo der üblichen sup-Norm entspricht. Darüber hinaus wird im Fall unabhängiger Zufallsgrößen der lokale Grenzwertsatz für Dichten betrachtet. Mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. Die Arbeit wird abgerundet durch verschiedene Hinweise auf praktische Anwendungen. / In the work the asymptotic behavior of suitably centered and normalized sums of random variables is investigated, which are either independent or occur in the case of dependence as a sequence of martingale differences or a strongly multiplicative system. In addition to the classical theory of summation limiting processes are considered with an infinite summation matrix or an adapted sequence of weighting functions. It will be further developed the method of characteristic functions, and especially the direct method of the conjugate distribution functions to prove quantitative statements about uniform and non-uniform error estimates of the remainder term in central limit theorem. The investigations are realized in the Lp metric, 1 <p <oo or p = 1 or p = oo, where in the case p = oo it is the usual sup-norm. In addition, in the case of independent random variables the local limit theorem for densities is considered. By means of electronic data processing new numerical results are obtained. The work is finished by various references to practical applications. Zentraler Grenzwertsatz Summen unabhängiger Zufallsgrößen Doppelfolge von Zufallssgrößen Martingaldifferenzfolgen stark multiplikative Systeme Zufallsvektoren Zufallselemente Verteilungsfunktion Dichtefunktion charakteristische Funktionen konjugierte Verteilungen zufälliger Index Konvergenzgeschwindigkeit ungleichmäßige Fehlerabschätzung einseitige Momente Pseudomomente abgeschnittene Momente Limitierungsverfahren Lp-Metrik globaler zentraler Grenzwertsatz Ordnung der Konvergenzgeschwindigkeit Fehlerabschätzung mittlere Abweichungen central limit theorem sums of independent random variables triangular arrays of random variables series of independent random variables sequences of martingale differences strongly multiplicative systems random vectors random elements distribution function density function characteristic functions conjugate distributions random index speed of convergence nonuniform error estimate one-sided moments pseudo moments truncated moments limiting methods Lp-metric global central limit theorem nonuniform central limit theorem order of the speed of convergence error estimation moderate deviations ddc:510 rvk:SK 800
4	Beiträge zur expliziten Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz Paditz, Ludwig 27 April 1989 (has links) In der Arbeit wird das asymptotische Verhalten von geeignet normierten und zentrierten Summen von Zufallsgrößen untersucht, die entweder unabhängig sind oder im Falle der Abhängigkeit als Martingaldifferenzfolge oder stark multiplikatives System auftreten. Neben der klassischen Summationstheorie werden die Limitierungsverfahren mit einer unendlichen Summationsmatrix oder einer angepaßten Folge von Gewichtsfunktionen betrachtet. Es werden die Methode der charakteristischen Funktionen und besonders die direkte Methode der konjugierten Verteilungsfunktionen weiterentwickelt, um quantitative Aussagen über gleichmäßige und ungleichmäßige Restgliedabschätzungen in zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. Die Untersuchungen werden dabei in der Lp-Metrik, 1<p<oo oder p=1 bzw. p=oo, durchgeführt, wobei der Fall p=oo der üblichen sup-Norm entspricht. Darüber hinaus wird im Fall unabhängiger Zufallsgrößen der lokale Grenzwertsatz für Dichten betrachtet. Mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. Die Arbeit wird abgerundet durch verschiedene Hinweise auf praktische Anwendungen. / In the work the asymptotic behavior of suitably centered and normalized sums of random variables is investigated, which are either independent or occur in the case of dependence as a sequence of martingale differences or a strongly multiplicative system. In addition to the classical theory of summation limiting processes are considered with an infinite summation matrix or an adapted sequence of weighting functions. It will be further developed the method of characteristic functions, and especially the direct method of the conjugate distribution functions to prove quantitative statements about uniform and non-uniform error estimates of the remainder term in central limit theorem. The investigations are realized in the Lp metric, 1 <p <oo or p = 1 or p = oo, where in the case p = oo it is the usual sup-norm. In addition, in the case of independent random variables the local limit theorem for densities is considered. By means of electronic data processing new numerical results are obtained. The work is finished by various references to practical applications. info:eu-repo/classification/ddc/510 ddc:510

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