Tester l’indépendance entre plusieurs vecteurs aléatoires est une question importante en statistique. Puisqu’il y a une infinité de manières par lesquelles une quantité aléatoire X peut dépendre d’une autre quantité aléatoire Y , ce n’est pas une question triviale, et plusieurs tests “classiques” comme Spearman [33], Wilks [40], Kendall [18] ou Puri and Sen [24] sont inefficaces pour détecter plusieurs formes de dépendance. De significatifs progrès dans ce domaine ont été réalisés récemment, par exemple dans Székely et al. [34], Gretton et al. [14] ou Heller et al. [15]. Cela dit, la majorité des tests disponibles détectent l’indépendance entre deux quantités aléatoires uniquement. L’indépendance par paires ne garantissant pas l’indépendance mutuelle, il est pertinent de développer des méthodes testant l’hypothèse d’indépendance mutuelle entre n’importe quel nombre de variables. Dans cette recherche nous proposons un test non-paramétrique et toujours convergent, applicable à un nombre quelconque de vecteurs aléatoires. Précisément, nous étendons la méthode décrite dans Heller et al. [15] de deux manières. Premièrement, nous proposons d’appliquer leur test aux rangs des observations, plutôt qu’aux observations elles-mêmes. Ensuite, nous étendons leur méthode pour qu’elle puisse tester l’indépendance entre un nombre quelconque de vecteurs. La distribution de notre statistique de test étant inconnue, nous utilisons une méthode de permutations pour calculer sa valeur-p. Des simulations sont menées pour obtenir la puissance du test, que nous comparons à celles d’autres test décrits dans Genest and Rémillard [10], Gretton et al. [14], Székely et al. [34], Beran et al. [3] et Heller et al. [15]. Nous investiguons divers exemples et dans plusieurs de ceux-ci la puissance de notre test est meilleure que celle des autres tests. En particulier, lorsque les variables aléatoires sont Cauchy notre test performe bien mieux que les autres. Pour le cas de vecteurs aléatoires strictement discrets, nous présentons une preuve que notre test est toujours convergent. / Testing for independence between random vectors is an important question in statistics. Because there is an infinite number of ways by which a random quantity X can be dependent of another random quantity Y , it is not a trivial question. It has been found that classical tests such has Spearman [33],Wilks [40], Kendall [18] or Puri and Sen [24] are ineffective to detect many forms of dependence. Recent, significant results on the topic include Székely et al. [35], Gretton et al. [14] or Heller et al. [15]. However, most of the available tests can only detect dependence between two random quantities. Because pairwise independence does not guarantee mutual independence, techniques testing the hypothesis of mutual independence between any number of random quantities are required. In this research we propose a non-parametric and universally consistent test of independence, applicable to any number of random vectors of any size. Precisely, we extend the procedure described in Heller et al. [15] in two ways. Firstly, we propose to use the ranks of the observations instead of the observations themselves. Secondly, we extend their method to test for independence between any number of random vectors. As the distribution of our test statistic is not known, a permutation method is used to compute p−values. Then, simulations are performed to obtain the power of the test. We compare the power of our new test to that of other tests, namely those in Genest and Rémillard [10], Gretton et al. [14], Székely et al. [34], Beran et al. [3] and Heller et al. [15]. Examples featuring random variables and random vectors are considered. For many examples investigated we find that our new test has similar or better power than that of the other tests. In particular, when the random variables are Cauchy, our new test outperforms the others. In the case of strictly discrete random vectors, we present a proof that our test is universally consistent.

本論文主要是介紹並評估一個R的軟體套件叫做"rBeta2009"。此套件是由Cheng et al. (2012) [8] 所設計，其目的是用來產生貝他分配(Beta Distribution)及狄氏分配(Dirichlet Distribution)的亂數。本論文特別針對此套件之(i)有效性(effiniency)、(ii)精確性(accuracy)及(iii)隨機性(randomness)進行評估，並與現有的R套件作比較。此外，本論文也介紹如何應用此套件來產生(i)反貝他分配(Inverted Beta Distribution)、(ii)反狄氏分配(Inverted Dirichlet Distribution)、(iii)Liouville分配及(iv)凸面區域上的均勻分配之亂數。 / A package in R called "rBeta2009", originally designed by Cheng et al. (2012) [6], was introduced and evaluated in this thesis. The purpose of the package is generating beta random numbers and Dirichlet random vectors. In this paper, we not only evaluated (i) the efficiency, (ii) the accuracy and (iii) the randomness, but also compare it with other R packages currently in use. In addition, it was also scrutinized in this thesis how to generate (i) inverted beta random numbers, (ii) inverted Dirichlet random vectors, (iii) Liouville random vectors, and (iv) uniform random vectors over convex polyhedron by using the same package.

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Cette thèse s'est développée à l'interface entre physique statistique et traitement statistique du signal, afin d'allier les perspectives de ces deux disciplines sur les problèmes de sommes et maxima de variables aléatoires. Nous avons exploré trois axes d'études qui mènent à s'éloigner des conditions classiques (i.i.d.) : l'importance des événements rares, le couplage avec la taille du système, et la corrélation. Combinés, ces trois axes mènent à des situations dans lesquelles les théorèmes de convergence classiques sont mis en défaut.Pour mieux comprendre l'effet du couplage avec la taille du système, nous avons étudié le comportement de la somme et du maximum de variables aléatoires indépendantes élevées à une puissance dépendante de la taille du signal. Dans le cas du maximum, nous avons mis en évidence l'apparition de lois limites non standards. Dans le cas de la somme, nous nous sommes intéressés au lien entre effet de linéarisation et transition vitreuse en physique statistique. Grâce à ce lien, nous avons pu définir une notion d'ordre critique des moments, montrant que, pour un processus multifractal, celui-ci ne dépend pas de la résolution du signal. Parallèlement, nous avons construit et étudié, théoriquement et numériquement, les performances d'un estimateur de cet ordre critique pour une classe de variables aléatoires indépendantes.Pour mieux cerner l'effet de la corrélation sur le maximum et la somme de variables aléatoires, nous nous sommes inspirés de la physique statistique pour construire une classe de variable aléatoires dont la probabilité jointe peut s'écrire comme un produit de matrices. Après une étude détaillée de ses propriétés statistiques, qui a montré la présence potentielle de corrélation à longue portée, nous avons proposé pour ces variables une méthode de synthèse en réussissant à reformuler le problème en termes de modèles à chaîne de Markov cachée. Enfin, nous concluons sur une analyse en profondeur du comportement limite de leur somme et de leur maximum. / This thesis has grown at the interface between statistical physics and signal processing, combining the perspectives of both disciplines to study the issues of sums and maxima of random variables. Three main axes, venturing beyond the classical (i.i.d) conditions, have been explored: The importance of rare events, the coupling between the behavior of individual random variable and the size of the system, and correlation. Together, these three axes have led us to situations where classical convergence theorems are no longer valid.To improve our understanding of the impact of the coupling with the system size, we have studied the behavior of the sum and the maximum of independent random variables raised to a power depending of the size of the signal. In the case of the maximum, we have brought to light non standard limit laws. In the case of the sum, we have studied the link between linearisation effect and glass transition in statistical physics. Following this link, we have defined a critical moment order such that for a multifractal process, this critical order does not depend on the signal resolution. Similarly, a critical moment estimator has been designed and studied theoretically and numerically for a class of independent random variables.To gain some intuition on the impact of correlation on the maximum or sum of random variables, following insights from statistical physics, we have constructed a class of random variables where the joint distribution probability can be expressed as a matrix product. After a detailed study of its statistical properties, showing that these variables can exhibit long range correlations, we have managed to recast this model into the framework of Hidden Markov Chain models, enabling us to design a synthesis procedure. Finally, we conclude by an in-depth study of the limit behavior of the sum and maximum of these random variables.

Cette thèse est consacré aux tests d'adéquation basés sur la fonction caractéristique. Nous débutons en présentant et en complétant les résultats probabilistes nécessaires à la construction de statistiques de test prenant la fonction caractéristique et son pendant la fonction caractéristique empirique comme représentations respectives des lois de référence et de la loi inconnue de l'échantillon de vecteurs aléatoires à tester. Nous poursuivons le travail en faisant la revue et en classant les tests basés sur la fonction caractéristique existants. Nous élaborons ensuite une classe de statistiques de test s'appuyant sur le calcul d'une distance intégrale. Le cas de la distance L2 est étudié plus à fond, car nous avons pu établir des résultats asymptotiques dans ce dernier cas. Ceux-ci font intervenir les éléments propres inconnus d'un opérateur intégral. Nous présentons, puis utilisons, une méthode d'approximation spectrale basée sur une projection de l'opérateur sur une base orthonormée.Finalement, nous construisons une nouvelle classe de tests appartenant au paradigme des tests lisses de Neyman. L'étude précédente nous permet de simplifier considérablement la construction de ces tests, dont différentes versions sont proposées tant pour le test d'une hypothèse simple que pour le test d'une hypothèse composite. / This PhD thesis consists in building goodness-of-fit tests using the characteristic function (CF) as a prefered representation for the probability laws involved.We start with listing and improving results in probability theory necessary to build test statistics using the characteristic function and its conterpart the empirical characteristic function.We list and classify existing characteristic function based goodness-of-fit tests published by varions authors since 1977.Then, we build a class of tests based on integral metrics. We take particular attention to the case where the statistics are build using a L2 distance. More specifically, we give asymptotic results in this case. However, these results reveal the need for information on the unknown eigenelements of an integral operator. Thus, we present and implement an approximation method using a sequence of projections on orthonormal bases ofan hilbertian functional space.Finally, we will build another class of tests using the Neyman smooth test paradigm. This study is based on our previous results, that fit well into the construction of characteristic function based smooth tests. We give various applications, presenting tests for both a simple hypothesis and a composite hypothesis.

In der Arbeit wird das asymptotische Verhalten von geeignet normierten und zentrierten Summen von Zufallsgrößen untersucht, die entweder unabhängig sind oder im Falle der Abhängigkeit als Martingaldifferenzfolge oder stark multiplikatives System auftreten. Neben der klassischen Summationstheorie werden die Limitierungsverfahren mit einer unendlichen Summationsmatrix oder einer angepaßten Folge von Gewichtsfunktionen betrachtet. Es werden die Methode der charakteristischen Funktionen und besonders die direkte Methode der konjugierten Verteilungsfunktionen weiterentwickelt, um quantitative Aussagen über gleichmäßige und ungleichmäßige Restgliedabschätzungen in zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. Die Untersuchungen werden dabei in der Lp-Metrik, 1<p<oo oder p=1 bzw. p=oo, durchgeführt, wobei der Fall p=oo der üblichen sup-Norm entspricht. Darüber hinaus wird im Fall unabhängiger Zufallsgrößen der lokale Grenzwertsatz für Dichten betrachtet. Mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. Die Arbeit wird abgerundet durch verschiedene Hinweise auf praktische Anwendungen. / In the work the asymptotic behavior of suitably centered and normalized sums of random variables is investigated, which are either independent or occur in the case of dependence as a sequence of martingale differences or a strongly multiplicative system. In addition to the classical theory of summation limiting processes are considered with an infinite summation matrix or an adapted sequence of weighting functions. It will be further developed the method of characteristic functions, and especially the direct method of the conjugate distribution functions to prove quantitative statements about uniform and non-uniform error estimates of the remainder term in central limit theorem. The investigations are realized in the Lp metric, 1 <p <oo or p = 1 or p = oo, where in the case p = oo it is the usual sup-norm. In addition, in the case of independent random variables the local limit theorem for densities is considered. By means of electronic data processing new numerical results are obtained. The work is finished by various references to practical applications.

In der Arbeit wird das asymptotische Verhalten von geeignet normierten und zentrierten Summen von Zufallsgrößen untersucht, die entweder unabhängig sind oder im Falle der Abhängigkeit als Martingaldifferenzfolge oder stark multiplikatives System auftreten. Neben der klassischen Summationstheorie werden die Limitierungsverfahren mit einer unendlichen Summationsmatrix oder einer angepaßten Folge von Gewichtsfunktionen betrachtet. Es werden die Methode der charakteristischen Funktionen und besonders die direkte Methode der konjugierten Verteilungsfunktionen weiterentwickelt, um quantitative Aussagen über gleichmäßige und ungleichmäßige Restgliedabschätzungen in zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. Die Untersuchungen werden dabei in der Lp-Metrik, 1<p<oo oder p=1 bzw. p=oo, durchgeführt, wobei der Fall p=oo der üblichen sup-Norm entspricht. Darüber hinaus wird im Fall unabhängiger Zufallsgrößen der lokale Grenzwertsatz für Dichten betrachtet. Mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. Die Arbeit wird abgerundet durch verschiedene Hinweise auf praktische Anwendungen. / In the work the asymptotic behavior of suitably centered and normalized sums of random variables is investigated, which are either independent or occur in the case of dependence as a sequence of martingale differences or a strongly multiplicative system. In addition to the classical theory of summation limiting processes are considered with an infinite summation matrix or an adapted sequence of weighting functions. It will be further developed the method of characteristic functions, and especially the direct method of the conjugate distribution functions to prove quantitative statements about uniform and non-uniform error estimates of the remainder term in central limit theorem. The investigations are realized in the Lp metric, 1 <p <oo or p = 1 or p = oo, where in the case p = oo it is the usual sup-norm. In addition, in the case of independent random variables the local limit theorem for densities is considered. By means of electronic data processing new numerical results are obtained. The work is finished by various references to practical applications.