This thesis deals with systems of interacting particles with very low energy in the limit where the particle-particle scattering is much larger than the range of the interactions. We use a quantum-field-theory approach which allows us to study both few-body and dense-matter systems in a unified framework. This allows to introduce composite fields of two and three particles (when appropriate). The quantum corrections are calculated nonperturbatively with the Functional RenormalisationGroup. We deal with three types of systems. First we study systems with three and four scalar particles. For three-particle systems our framework describes the Efimov effect. During the FRG flow in the scaling limit, the four-particle system has an infinite sequence of (unphysical) four-particle states on top of each Efimov trimer. This is a case of super Efimov behaviour. Three of these four-particle states survive to the physical limit. Two of these three states have been found in exact quantum-mechanical calculations, and have also been observed in gases of ultracold atoms. Next, this thesis studies systems of three and four spin-1/2 particles. In the scaling limit, we find attractive fixed points for the three- and four-particle systems. Out of the scaling limit, we study atom-molecule scattering and molecule-molecule scattering, in particular their scattering length. Finally, we study dense-matter systems of spin-1/2 particles. This calculation includes all the two-, three-, and four-particle interactions. These systems show spontaneous symmetry breaking: the two-particle field has a finite classical value. We find the value of the atom gap in units of the chemical potential.

On étudie dans cette thèse l'équation de Szegö sur la droite réelle ainsi que ses perturbations. Cette équation a été introduite il y a quelques années par Gérard et Grellier comme modèle mathématique d'une équation non linéaire totalement non dispersive.L'équation de Szegöapparait naturellement dans l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire (NLS) danscertaines situations sur-critiques où l'on constate un manque de dispersion, par exemplelorsque l'on considère NLS sur le groupe de Heisenberg. Par conséquent, une des motivationsde cette thèse est d'établir des résultats concernant l'équation de Szegö qui pourrontéventuellement être utilisés dans le contexte de l'équation de Schrödinger non linéaire.Le premier résultat de cette thèse est la classification des solitons de l'équation de Szegö.On montre que ce sont tous des fonctions rationnelles ayant un unique pôle qui est simple.De plus, on prouve que les solitons sont orbitalement stables.La propriété la plus remarquable de l'équation de Szegö est le fait qu'elle est complètement intégrable, ce qui permet notamment d'établir une formule explicite de sa solution.Comme applications de cette formule, on obtient les trois résultats suivants. (A) On montreque les solutions fonctions rationnelles génériques se décomposent en une somme de solitonset d'un reste qui est petit lorsque le temps tend vers l'infini. (B) On met en évidence unexemple de solution non générique dont les grandes normes de Sobolev tendent vers l'infiniavec le temps. (C) On détermine des coordonnées action-angle généralisées lorsque l'on restreintl'équation de Szegö à une sous-variété de dimension finie. En particulier, on en déduitqu'une grande partie des trajectoires de cette équation sont des spirales autour de cylindrestoroïdaux.Comme l'équation de Szegö est complètement intégrable, il est ensuite naturel d'étudierses perturbations et d'établir de nouvelles propriétés pour celles-ci à partir des résultatsconnus pour l'équation de Szegö. Une des perturbations de l'équation de Szegö est une équation desondes non linéaire (NLW) de donnée bien préparée.On prouve que si la donnée initiale de NLW est petite et à support dans l'ensemble desfréquences positives, la solution de NLW est alors approximée pour un temps long par lasolution de l'équation de Szegö. Autrement dit, on démontre ainsi que l'équation de Szegöest la première approximation de NLW. On construit ensuite une solution de NLW dont lesgrandes normes de Sobolev augmentent (relativement à la norme de la donnée initiale).Sur le tore T, Gérard et Grellier ont démontré un résultat analogue d'approximation deNLW. On améliore ce résultat en trouvant une approximation plus fine, de deuxième ordre.Dans une dernière partie, on s'intéresse à l'équation de Szegö perturbée par un potentielmultiplicatif petit. On étudie l'interaction de ce potentiel avec les solitons. Plus précisément,on montre que, si la donnée initiale est celle d'un soliton pour l'équation non perturbée, lasolution de l'équation perturbée garde la forme d'un soliton sur un long temps. De plus, ondéduit la dynamique effective, i.e. les équations différentielles satisfaites par les paramètresdu soliton. / In this Ph.D. thesis, we study the Szegö equation on the real lineas well as its perturbations.It was recently introduced by Gérard and Grellier as a toy model of a non-lineartotally non dispersive equation. The Szegö equation appears naturally in the study of thenon-linear Schrödinger equation (NLS) in super-critical situations where dispersion lacks,for example, when one considers NLS on the Heisenberg group. Consequently, one of themotivations of this Ph.D. thesis is fi nding new results for the Szegö equation in hope thatthey could be eventually used in the context of the non-linear Schrödinger equation.Our first result is a classification of the solitons of the Szegö equation. We show thatthey are all rational functions with one simple pole. In addition, we prove the orbitalstability of solitons.The Szegö equation has the remarkable property of being completely integrable. Thisallows us to find an explicit formula for solutions. We obtain three applications of thisformula. (A) We prove soliton resolution for solutions which are generic rational functions.(B) We construct an example of non-generic solution whose high Sobolev norms grow toinfinity over time. (C) We find generalized action-angle variables when restricting the Szegöequation to a finite dimensional sub-manifold. In particular, this yields that most of thetrajectories of the Szegö equation are spirals around toroidal cylinders.Since the Szegö equation is completely integrable, it is natural to study its perturbationsand deduce new properties of such perturbations from the known results for the Szegöequation. One perturbation of the Szegö equation is a non-linear wave equation(NLW) with small initial data.We prove that the Szegö equation is the first order approximation of NLW. More precisely,if an initial condition of NLW is small and supported only on non-negative frequencies, thenthe corresponding solution can be approximated by the solution of the Szegö equation, fora long time. We then construct a solution of NLW whose high Sobolev norms grow.On the torus T, Gérard and Grellier proved an analogous first order approximationresult for NLW. By considerning the second order approximation, we obtain an improvedresult with a smaller error.Lastly, we consider the Szegö equation perturbed by a small multiplicative potential.We study the interaction of this potential with solitons. More precisely, we show that, if theinitial condition is that of a soliton for the unperturbed Szegö equation, then the solutionpreserves the shape of a soliton for a long time. In addition, we prescribe the effectivedynamics, i.e. we derive the differential equations satisfied by the parameters of the soliton.

Cette thèse s'est développée à l'interface entre physique statistique et traitement statistique du signal, afin d'allier les perspectives de ces deux disciplines sur les problèmes de sommes et maxima de variables aléatoires. Nous avons exploré trois axes d'études qui mènent à s'éloigner des conditions classiques (i.i.d.) : l'importance des événements rares, le couplage avec la taille du système, et la corrélation. Combinés, ces trois axes mènent à des situations dans lesquelles les théorèmes de convergence classiques sont mis en défaut.Pour mieux comprendre l'effet du couplage avec la taille du système, nous avons étudié le comportement de la somme et du maximum de variables aléatoires indépendantes élevées à une puissance dépendante de la taille du signal. Dans le cas du maximum, nous avons mis en évidence l'apparition de lois limites non standards. Dans le cas de la somme, nous nous sommes intéressés au lien entre effet de linéarisation et transition vitreuse en physique statistique. Grâce à ce lien, nous avons pu définir une notion d'ordre critique des moments, montrant que, pour un processus multifractal, celui-ci ne dépend pas de la résolution du signal. Parallèlement, nous avons construit et étudié, théoriquement et numériquement, les performances d'un estimateur de cet ordre critique pour une classe de variables aléatoires indépendantes.Pour mieux cerner l'effet de la corrélation sur le maximum et la somme de variables aléatoires, nous nous sommes inspirés de la physique statistique pour construire une classe de variable aléatoires dont la probabilité jointe peut s'écrire comme un produit de matrices. Après une étude détaillée de ses propriétés statistiques, qui a montré la présence potentielle de corrélation à longue portée, nous avons proposé pour ces variables une méthode de synthèse en réussissant à reformuler le problème en termes de modèles à chaîne de Markov cachée. Enfin, nous concluons sur une analyse en profondeur du comportement limite de leur somme et de leur maximum. / This thesis has grown at the interface between statistical physics and signal processing, combining the perspectives of both disciplines to study the issues of sums and maxima of random variables. Three main axes, venturing beyond the classical (i.i.d) conditions, have been explored: The importance of rare events, the coupling between the behavior of individual random variable and the size of the system, and correlation. Together, these three axes have led us to situations where classical convergence theorems are no longer valid.To improve our understanding of the impact of the coupling with the system size, we have studied the behavior of the sum and the maximum of independent random variables raised to a power depending of the size of the signal. In the case of the maximum, we have brought to light non standard limit laws. In the case of the sum, we have studied the link between linearisation effect and glass transition in statistical physics. Following this link, we have defined a critical moment order such that for a multifractal process, this critical order does not depend on the signal resolution. Similarly, a critical moment estimator has been designed and studied theoretically and numerically for a class of independent random variables.To gain some intuition on the impact of correlation on the maximum or sum of random variables, following insights from statistical physics, we have constructed a class of random variables where the joint distribution probability can be expressed as a matrix product. After a detailed study of its statistical properties, showing that these variables can exhibit long range correlations, we have managed to recast this model into the framework of Hidden Markov Chain models, enabling us to design a synthesis procedure. Finally, we conclude by an in-depth study of the limit behavior of the sum and maximum of these random variables.

Diese Arbeit wird durch die AdS/CFT Korrespondenz, sowie durch die Dualität zwischen lichtartigen, polygonalen Wilsonschleifen und Gluonenstreuamplituden in N=4 Super-Yang-Mills-Theorie motiviert. Bei starker Kopplung haben lichtartige, polygonale Wilsonschleifen und Gluonenstreuamplituden eine Beschreibung über raumartige Minimalflächen in AdS5. Wir benutzen eine Pohlmeyerreduktion, um eine Klassifikation aller raumartigen Minimalflächen in AdS3xS3 mit flachen Projektionen herzuleiten. Diese Klassifikation enthält neun verschiedene Klassen von Flächen. Dabei treten raumartige, zeitartige und degenerierte AdS3-Projektionen auf. Bei denjenigen Lösungen, die einen geschlossenen, polygonalen und lichtartigen Rand besitzen, berechnen wir den regularisierten Flächeninhalt. Bei schwacher Kopplung erfüllen lichtartige, polygonale Wilsonschleifen und Gluonenstreuamplituden den um eine Remainderfunktion korrigierten BDS-Ansatz. Wir präsentieren eine Technik, die auf einer Renormierungsgruppengleichung für selbstschneidende Wilsonschleifen beruht, mit der wir die Divergenzen der Remainderfunktion in diesem Limes berechnen können. Mittels dieser Technik analysieren wir zwei Arten des Selbstschnittes. Im Falle des Selbstschnittes zwischen zwei Ecken berechnen wir die führenden Divergenzen bis zur vierten Schleifenordnung. Beim Selbstschnitt zwischen zwei Kanten berechnen wir die führenden und nächstfolgenden Divergenzen bis zur vierten Schleifenordnung und präsentieren eine analytische Fortsetzung in die Region der Euklidischen Wilsonschleifen und sagen bestimmte Terme vorher, die in dem unbekannten analytischen Ausdruck für die Remainderfunktion enthalten sein müssen. / This thesis is motivated by the AdS/CFT correspondence and the duality between gluon scattering amplitudes and light-like polygonal Wilson loops in N=4 super Yang-Mills theory. At strong coupling light-like polygonal Wilson loops and gluon scattering amplitudes have a description in terms of space-like minimal surfaces in AdS5. We use a Pohlmeyer reduction to derive a classification of all space-like minimal surfaces in AdS3xS3 that have flat projections. The classification consists of nine different classes and contains space-like, time-like and degenerated AdS3 projections. For solutions that admit a closed light-like polygonal boundary we calculate the regularized area. At weak coupling light-like polygonal Wilson loops and gluon scattering amplitudes obey the BDS Ansatz corrected by a remainder function. We present a renormalisation group equation technique using self-crossing Wilson loops to extract the divergences of the remainder function in this limit. Using this technique we analyse two different types of self-crossing. We present the leading and sub-leading divergences up to four loops for a crossing between two edges and the leading divergences for a crossing between two vertices. For a crossing between two edges we present an analytic continuation to the euclidean regime to predict certain terms that have to occur in the unknown analytic expression of the remainder function.