Univ., Diplomarbeit, 2008--Frankfurt (Main). / Übers. des Hauptsacht.: A universal central limit theorem for the distance of two balls in random split trees.

Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

The aim of this paper is to investigate the known nonuniform version of Esseen's inequality in the Lp-metric, to get a numerical bound for the appearing constant L. For a long time the results given by several authors constate the impossibility of a nonuniform estimation in the most interesting case δ=1, because the effect L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, was observed, where 2+δ, 0<δ<1, is the order of the assumed moments of the considered independent random variables X_k, k=1,2,...,n. Again making use of the method of conjugated distributions, we improve the well-known technique to show in the most interesting case δ=1 the finiteness of the absolute constant L and to prove L=L(1)=<127,74*7,31^(1/p), p>1. In the case 0<δ<1 we only give the analytical structure of L but omit numerical calculations. Finally an example on normal approximation of sums of l_2-valued random elements demonstrates the application of the nonuniform mean central limit bounds obtained here. / Das Anliegen dieses Artikels besteht in der Untersuchung einer bekannten Variante der Esseen'schen Ungleichung in Form einer ungleichmäßigen Fehlerabschätzung in der Lp-Metrik mit dem Ziel, eine numerische Abschätzung für die auftretende absolute Konstante L zu erhalten. Längere Zeit erweckten die Ergebnisse, die von verschiedenen Autoren angegeben wurden, den Eindruck, dass die ungleichmäßige Fehlerabschätzung im interessantesten Fall δ=1 nicht möglich wäre, weil auf Grund der geführten Beweisschritte der Einfluss von δ auf L in der Form L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, beobachtet wurde, wobei 2+δ, 0<δ<1, die Ordnung der vorausgesetzten Momente der betrachteten unabhängigen Zufallsgrößen X_k, k=1,2,...,n, angibt. Erneut wird die Methode der konjugierten Verteilungen angewendet und die gut bekannte Beweistechnik verbessert, um im interessantesten Fall δ=1 die Endlichkeit der absoluten Konstanten L nachzuweisen und um zu zeigen, dass L=L(1)=<127,74*7,31^(1/p), p>1, gilt. Im Fall 0<δ<1 wird nur die analytische Struktur von L herausgearbeitet, jedoch ohne numerische Berechnungen. Schließlich wird mit einem Beispiel zur Normalapproximation von Summen l_2-wertigen Zufallselementen die Anwendung der gewichteten Fehlerabschätzung im globalen zentralen Grenzwertsatz demonstriert.

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The aim of this paper is to investigate the known nonuniform version of Esseen''s inequality in the Lp-metric, to get a numerical bound for the appearing constant L. For a long time the results given by several authors constate the impossibility of a nonuniform estimation in the most interesting case δ=1, because the effect L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, was observed, where 2+δ, 0<δ<1, is the order of the assumed moments of the considered independent random variables X_k, k=1,2,...,n. Again making use of the method of conjugated distributions, we improve the well-known technique to show in the most interesting case δ=1 the finiteness of the absolute constant L and to prove L=L(1)=<127,74*7,31^(1/p), p>1. In the case 0<δ<1 we only give the analytical structure of L but omit numerical calculations. Finally an example on normal approximation of sums of l_2-valued random elements demonstrates the application of the nonuniform mean central limit bounds obtained here.:1. Introduction S. 3 2. The nonuniform version of ESSEEN''s Inequality in the Lp-metrie S. 4 3. The partition of the domain of integration S. 5 4. The domain of moderate x S. 8 5. An error bound for large values of L2+δ,n S. 12 6. The proof of the inequality (2.1) S. 13 7. An application to normalapproximation of sums of l2-valued random elements S. 14 References S. 18 / Das Anliegen dieses Artikels besteht in der Untersuchung einer bekannten Variante der Esseen''schen Ungleichung in Form einer ungleichmäßigen Fehlerabschätzung in der Lp-Metrik mit dem Ziel, eine numerische Abschätzung für die auftretende absolute Konstante L zu erhalten. Längere Zeit erweckten die Ergebnisse, die von verschiedenen Autoren angegeben wurden, den Eindruck, dass die ungleichmäßige Fehlerabschätzung im interessantesten Fall δ=1 nicht möglich wäre, weil auf Grund der geführten Beweisschritte der Einfluss von δ auf L in der Form L=L(δ)=O(1/(1-δ)), δ->1-0, beobachtet wurde, wobei 2+δ, 0<δ<1, die Ordnung der vorausgesetzten Momente der betrachteten unabhängigen Zufallsgrößen X_k, k=1,2,...,n, angibt. Erneut wird die Methode der konjugierten Verteilungen angewendet und die gut bekannte Beweistechnik verbessert, um im interessantesten Fall δ=1 die Endlichkeit der absoluten Konstanten L nachzuweisen und um zu zeigen, dass L=L(1)=<127,74*7,31^(1/p), p>1, gilt. Im Fall 0<δ<1 wird nur die analytische Struktur von L herausgearbeitet, jedoch ohne numerische Berechnungen. Schließlich wird mit einem Beispiel zur Normalapproximation von Summen l_2-wertigen Zufallselementen die Anwendung der gewichteten Fehlerabschätzung im globalen zentralen Grenzwertsatz demonstriert.:1. Introduction S. 3 2. The nonuniform version of ESSEEN''s Inequality in the Lp-metrie S. 4 3. The partition of the domain of integration S. 5 4. The domain of moderate x S. 8 5. An error bound for large values of L2+δ,n S. 12 6. The proof of the inequality (2.1) S. 13 7. An application to normalapproximation of sums of l2-valued random elements S. 14 References S. 18

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).

Der Beitrag stellt eine Verallgemeinerung der Ergebnisse dar, die in den Informationen/07; 1976,05 veröffentlicht wurden. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und nicht notwendig identisch verteilte Zufallsgrößen mit endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_m derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz explizit angeben können. Als Spezialfall ergibt sich die ungleichmäßige Fehlerschranke von A.BIKELIS (1966) im Fall der Existenz dritter absoluter Momente. Weiterhin werden Grenzwertsätze unter Voraussetzung einseitiger Momente betrachtet. Es werden einige Literaturhinweise angegeben. / The paper is a generalization of the results, published by the author in Informationen/07; 1976,05. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are non iid random variables with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_m are computed such that we have some error estimates in the nonuniform central limit theorem. A special case is the nonuniform error bound by A.BIKELIS (1966) in the case of existence of third absolute moments. Furthermore limit theorems with assumption of onesided moments are considered. Some references are given.

Es wird eine Folge unabhängiger zentrierter Zufallsgrößen betrachtet, die absolute Momente der Ordnung m, 2<m<3, besitzen mögen. Dann gelten für die normierte Verteilungsfunktion der Zufallssumme X_1+X_2+...+X_n der zentrale Grenzwertsatz und insbesondere eine ungleichmäßige Fehlerabschätzung von A.BIKELIS (1966). In der vorliegenden Note werden die analytische Struktur der in dieser Fehlerabschätzung auftretenden Konstanten L=L(m) genauer untersucht sowie dazu erzielte numerische Resultate vorgelegt. Abschließend werden einige Literaturhinweise angegeben. Der Fall m=3 wurde bereits in der Dissertation (TU Dresden 1977) des Autors untersucht. / We consider a sequence of centered and independent random variables with moments of order m, 2<m<3. Now the central limit theorem for the distribution function of the normed sum X_1+X_2+...+X_n and especially a nonuniform error estimate by A.BIKELIS (1966) hold. In this paper the analytical structure of the appearing constant L=L(m) of the error bound and numerical results are presented. Finally some references are given. The case m=3 was already studied in the thesis (Dissertation TU Dresden, 1977) by the author.

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