Der Beitrag stellt eine Verallgemeinerung der Ergebnisse dar, die in den Informationen/07; 1976,05 veröffentlicht wurden. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und nicht notwendig identisch verteilte Zufallsgrößen mit endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_m derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz explizit angeben können. Als Spezialfall ergibt sich die ungleichmäßige Fehlerschranke von A.BIKELIS (1966) im Fall der Existenz dritter absoluter Momente. Weiterhin werden Grenzwertsätze unter Voraussetzung einseitiger Momente betrachtet. Es werden einige Literaturhinweise angegeben. / The paper is a generalization of the results, published by the author in Informationen/07; 1976,05. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are non iid random variables with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_m are computed such that we have some error estimates in the nonuniform central limit theorem. A special case is the nonuniform error bound by A.BIKELIS (1966) in the case of existence of third absolute moments. Furthermore limit theorems with assumption of onesided moments are considered. Some references are given.

Der Beitrag stellt eine Verallgemeinerung der Ergebnisse dar, die in den Informationen/07; 1976,05 veröffentlicht wurden. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und nicht notwendig identisch verteilte Zufallsgrößen mit endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_m derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz explizit angeben können. Als Spezialfall ergibt sich die ungleichmäßige Fehlerschranke von A.BIKELIS (1966) im Fall der Existenz dritter absoluter Momente. Weiterhin werden Grenzwertsätze unter Voraussetzung einseitiger Momente betrachtet. Es werden einige Literaturhinweise angegeben.:1. Grenzwertsätze für verschieden verteilte Zufallsgrößen S. 1 2. Grenzwertsätze unter Voraussetzung einseitiger Momente S. 6 3. Beweise zum Abschnitt 1 S. 7 4. Beweise zum Abschnitt 2 S. 14 Literatur S. 16 / The paper is a generalization of the results, published by the author in Informationen/07; 1976,05. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are non iid random variables with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_m are computed such that we have some error estimates in the nonuniform central limit theorem. A special case is the nonuniform error bound by A.BIKELIS (1966) in the case of existence of third absolute moments. Furthermore limit theorems with assumption of onesided moments are considered. Some references are given.:1. Grenzwertsätze für verschieden verteilte Zufallsgrößen S. 1 2. Grenzwertsätze unter Voraussetzung einseitiger Momente S. 6 3. Beweise zum Abschnitt 1 S. 7 4. Beweise zum Abschnitt 2 S. 14 Literatur S. 16

Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.

Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.