Pour une bonne modélisation mathématique de l'occurrence de phénomènes aléatoires, part fondamentale de la discipline actuarielle, il est nécessaire d'employer des distributions multi-variées permettant de capturer adéquatement les relations de dépendance présentes entre les phénomènes. Celles qu'offrent les champs aléatoires markoviens, une famille de modèle probabilistes graphiques, répondent à ce besoin, les relations de dépendance qu'elles introduisent se calquant à un arbre ou à un graphe. Les champs aléatoires markoviens misent ainsi sur les riches possibilités de topologies d'arbres et de graphes pour offrir cette même richesse en termes de dépendance. Une nouvelle famille de champs aléatoires markoviens arborescents, c'est-à-dire se basant sur des arbres, est proposée. Les membres de cette famille se distinguent par le fait qu'ils ont des distributions marginales fixes de Poisson, « fixes » dans le sens que la dépendance introduite n'a pas d'impact sur elles. Des distribution marginales fixes sont inhabituelles pour un champ aléatoire markovien, bien que généralement désirables pour fins de modélisation. Cette caractéristique est possible par l'encapsulation, dans les arêtes de l'arbre, de la dynamique de propagation induite par l'opérateur d'amincissement binomial. Cela mène également à une représentation stochastique intuitive des champs aléatoires markoviens de la famille, à des méthodes simples de simulation et à des expressions analytiques pour leur fonction de masses de probabilités conjointe et leur fonction génératrice de probabilités conjointe, notamment. Quantités importantes dans un contexte actuariel, la somme des composantes du champ aléatoire markovien, interprétable comme le nombre total d'événement s'étant produits, et les contributions individuelles de ces composantes sont étudiées en profondeur. Cette analyse passe notamment par l'établissement d'ordres stochastiques. À cet effet, un nouvel ensemble partiellement ordonné est défini pour comparer des arbres aux topologies différentes selon la distribution qu'ils induisent pour la somme, ce qui est, à notre connaissance, novateur dans le contexte de modèles pobabilistes graphiques. Est offerte une comparaison de cet ensemble partiellement ordonné avec quelques autres en lien avec la théorie spectrale des graphes. / For adequate mathematical modeling of random phenomena's occurrences, it is necessary toemploy multivariate distributions that appropriately capture the existing dependence relationsbetween those phenomena. The multivariate distributions granted by Markov random fields, a family of probabilistic graphical models, answer to this need, by encrypting the dependencescheme they introduce on a tree or a graph. Markov random fields thus leverage on therich possibilities of tree shapes and graph shapes to provide these possibilities in terms ofdependence schemes. We propose a new family of tree-based Markov random fields, characterized by their Poissonmarginal distributions. The marginal distributions are also fixed, meaning they are not affectedby the introduced dependence. This fixedness is uncommon for Markov random fields, whilebeing desirable for modeling purposes. It is obtained from the encapsulation, in the edgesof the tree, of the propagation dynamic induced by the binomial thinning operator. Thisleads to an intuitive stochastic representation of Markov random fields from the proposedfamily, simple methods of simulation, and analytic expressions for their joint probability massfunction and their joint probability generating function, notably. Important quantities in an actuarial context are the sum of the components of the Markovrandom field, interpreted as the total number of occurring phenomena, and the individualcontributions of these components. They are thoroughly studied, notably via the use ofstochastic order relations. We incidently design a new partially ordered set (poset) of trees, inorder to compare trees of different shapes based on the distribution of the sum they respectivelyconvey. To our knowledge, this approach is innovative in the context of probabilistic graphicalmodels. We provide comparisons of the newly defined poset with some other posets of treesfetched from spectral graph theory.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/148343 |
| Date | 16 August 2024 |
| Creators | Côté, Benjamin |
| Contributors | Marceau, Étienne, Cossette, Hélène |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (x, 71 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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