A Linear Program is a problem where the goal is to maximize a linear function subject to a set of linear inequalities. Geometrically, this can be rephrased as finding the highest point on a polyhedron. The Simplex method is a commonly used algorithm to solve Linear Programs. It traverses the vertices of the polyhedron, and in each step, it selects one adjacent better vertex and moves there. There can be multiple vertices to choose from, and therefore the Simplex method has different variants deciding how the next vertex is selected. One of the most natural variants is Random Edge, which in each step of the Simplex method uniformly at random selects one of the better adjacent vertices. It is interesting and non-trivial to study the complexity of variants of the Simplex method in the number of variables, d, and inequalities, N. In 2011, Friedmann, Hansen, and Zwick found a class of Linear Programs for which the Random Edge algorithm is subexponential with complexity 2^Ω(N^(1/4)), where d=Θ(N). Previously all known lower bounds were polynomial. We give an improved lower bound of 2^Ω(N^(1/2)), for Random Edge on Linear Programs where d=Θ(N). Another well studied variant of the Simplex method is Random Facet. It is upper bounded by 2^O(N^(1/2)) when d=Θ(N). Thus we prove that Random Edge is not faster than Random Facet on Linear Programs where d=Θ(N). Our construction is very similar to the previous construction of Friedmann, Hansen and Zwick. We construct a Markov Decision Process which behaves like a binary counter with linearly many levels and linearly many nodes on each level. The new idea is a new type of delay gadget which can switch quickly from 0 to 1 in some circumstances, leading to fewer nodes needed on each level of the construction. The key idea is that it is worth taking a large risk of getting a small negative reward if the potential positive reward is large enough in comparison. / Ett linjärt program är ett problem där målet är att maximiera en linjär funktion givet en mängd linjära olikheter. Geometriskt kan detta omformuleras som att hitta den högsta punkten på en polyeder. Simplexmetoden är en algoritm som ofta används för att lösa linjära program. Den besöker hörnen i polyedern, och i varje steg väljer den ett närliggande bättre hörn och flyttar dit. Det kan finnas flera hörn att välja mellan, och därför finns det olika varianter av simplexmetoden som bestämmer hur nästa hörn ska väljas. En av de mest naturliga varianterna är Random Edge, som i varje steg av simplexmetoden, uniformt slumpmässigt väljer ett av de närliggande bättre hörnen. Det är intressant och icke-trivialt att studera komplexiteten av olika varianter av simplexmetoden i antalet variabler, d, och olikheter N. År 2011 hittade Friedmann, Hansen och Zwick en familj av linjära program där Random Edge är subexponentiell med komplexitet 2^Ω(N^(1/4)), där d=Θ(N). Innan dess var alla kända undre gränser polynomiska. Vi ger en förbättrad undre gräns på 2^Ω(N^(1/2)), för Random Edge på linjära program där d=Θ(N). En annan välstuderad variant av simplexmetoden är Random Facet. Dess komplexitet har en övre gräns på 2^O(N^(1/2)) när d=Θ(N). Alltså bevisar vi att Random Edge inte är snabbare än Random Facet på linjära program där d=Θ(N). Vår konstruktion är väldigt lik den tidigare konstruktionen av Friedmann, Hansen och Zwick. Vi konstruerar en Markov-beslutsprocess som beter sig som en binär räknare med linjärt många nivåer och linjärt många noder på varje nivå. Den nya idén är en ny typ av försenings-multinod som kan byta snabbt från 0 till 1 i vissa fall, vilket leder till att det behövs färre noder på varje nivå av konstruktionen. Nyckelidén är att det är värt att ta en stor risk att få en liten negativ poäng om den potentiella positiva poängen är stor nog i jämförelse.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-338309 |
| Date | January 2023 |
| Creators | Hedblom, Nicole |
| Publisher | KTH, Matematik (Avd.) |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2023:368 |
Page generated in 0.0025 seconds