Computadores quânticos prometem resolver certos problemas assintoticamente mais rápido do que os computadores clássicos. Algoritmos quânticos, como o algoritmo de Shor, podem ser considerados casos particulares do chamado Problema do Subgrupo Oculto(PSO). O PSO consiste em encontrar um subgrupo H de um grupo G por meio de avaliações de uma função f que é constante em classes laterais de H e distinta em classes laterais diferentes. O PSO em grupos abelianos é resolvido eficientemente em um computador quântico, mas será que os computadores quânticos podem resolver o PSO em grupos não abelianos? Esta questão tem sido discutida regularmente pela comunidade científica devido a importantes aplicações, como é o caso do problema de isomorfismo de grafos e do problema do menor vetor em um reticulado. Nesta dissertação é feita uma revisão do trabalho de Ivanyos et al. (2007a), o qual apresenta uma solução para o PSO em grupos nilpotentes de classe 2. Com esta finalidade, é elaborada uma breve revisão sobre a Computação Quântica; são mostradas algumas características dos grupos nilpotentes e dos grupos solúveis, dando uma atenção especial aos grupos nilpotentes de classe 2; é exposto o método padrão de solução do PSO em grupos abelianos; também são exibidas as principais características de sequencias policıclicas e reduçõesde grupos nilpotentes usando as propriedades de sequencias policıclicas / Quantum computers may solve certain problems asymptotically faster than the classical computers. Quantum algorithms, such as Shors algorithm, may be considered as a particular case of the Hidden Subgroup Problem (HSP). The HSP consists in finding a subgroup H of a group G by evaluating a function f, which is constant in cosets of H and distinct for each coset. The HSP for Abelian groups is efficiently solved in a quantum computer, but is quantum computers can solve the HSP in non-Abelian groups efficiently? This question has been regularly discussed by the scientific community due to the importance of some applications, such as the graph isomorphism problem and the short vector in a lattice. In this dissertation we review the Ivanyos et al. (2007a) that address HSP in nilpotent groups of class 2. We make a brief review on Quantum Computing; we address some characteristics of nilpotent groups and solvable groups, with special attention to nilpotent groups of class 2; we discuss the standard method of solution of the HSP in Abelian groups; we present the main characteristics of the polycyclic sequences and important reductions of the HSP in classes of nilpotent groups using the properties of polycyclic sequences. Finally, we present an efficient algorithm to solve the HSP in nilpotent groups of class 2.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:agregador.ibict.br.BDTD_LNCC:oai:lncc.br:51 |
| Date | 13 March 2008 |
| Creators | Tharso Dominisini Fernandes |
| Contributors | Renato Portugal, Eduardo Lúcio Mendes Garcia, Carlile Campos Lavor, Mauricio Vieira Kritz, Guilherme Augusto de La Roque Leal |
| Publisher | Laboratório Nacional de Computação Científica |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações do LNCC, instname:Laboratório Nacional de Computação Científica, instacron:LNCC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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