Computadores quânticos prometem resolver certos problemas assintoticamente mais rápido do que os computadores clássicos. Algoritmos quânticos, como o algoritmo de Shor, podem ser considerados casos particulares do chamado Problema do Subgrupo Oculto(PSO). O PSO consiste em encontrar um subgrupo H de um grupo G por meio de avaliações de uma função f que é constante em classes laterais de H e distinta em classes laterais diferentes. O PSO em grupos abelianos é resolvido eficientemente em um computador quântico, mas será que os computadores quânticos podem resolver o PSO em grupos não abelianos? Esta questão tem sido discutida regularmente pela comunidade científica devido a importantes aplicações, como é o caso do problema de isomorfismo de grafos e do problema do menor vetor em um reticulado. Nesta dissertação é feita uma revisão do trabalho de Ivanyos et al. (2007a), o qual apresenta uma solução para o PSO em grupos nilpotentes de classe 2. Com esta finalidade, é elaborada uma breve revisão sobre a Computação Quântica; são mostradas algumas características dos grupos nilpotentes e dos grupos solúveis, dando uma atenção especial aos grupos nilpotentes de classe 2; é exposto o método padrão de solução do PSO em grupos abelianos; também são exibidas as principais características de sequencias policıclicas e reduçõesde grupos nilpotentes usando as propriedades de sequencias policıclicas / Quantum computers may solve certain problems asymptotically faster than the classical computers. Quantum algorithms, such as Shors algorithm, may be considered as a particular case of the Hidden Subgroup Problem (HSP). The HSP consists in finding a subgroup H of a group G by evaluating a function f, which is constant in cosets of H and distinct for each coset. The HSP for Abelian groups is efficiently solved in a quantum computer, but is quantum computers can solve the HSP in non-Abelian groups efficiently? This question has been regularly discussed by the scientific community due to the importance of some applications, such as the graph isomorphism problem and the short vector in a lattice. In this dissertation we review the Ivanyos et al. (2007a) that address HSP in nilpotent groups of class 2. We make a brief review on Quantum Computing; we address some characteristics of nilpotent groups and solvable groups, with special attention to nilpotent groups of class 2; we discuss the standard method of solution of the HSP in Abelian groups; we present the main characteristics of the polycyclic sequences and important reductions of the HSP in classes of nilpotent groups using the properties of polycyclic sequences. Finally, we present an efficient algorithm to solve the HSP in nilpotent groups of class 2.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Thesis_Tharso_Dominisini_Fernandes_2008.pdf: 433414 bytes, checksum: 974d6b0bd3b829341f4f36f9c8d29a72 (MD5) Previous issue date: 2008-03-13 / Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / Quantum computers may solve certain problems asymptotically faster than the classical computers. Quantum algorithms, such as Shor s algorithm, may be considered as a particular case of the Hidden Subgroup Problem (HSP). The HSP consists in finding a subgroup H of a group G by evaluating a function f, which is constant in cosets of H and distinct for each coset. The HSP for Abelian groups is efficiently solved in a quantum computer, but is quantum computers can solve the HSP in non-Abelian groups efficiently? This question has been regularly discussed by the scientific community due to the importance of some applications, such as the graph isomorphism problem and the short vector in a lattice. In this dissertation we review the Ivanyos et al. (2007a) that address HSP in nilpotent groups of class 2. We make a brief review on Quantum Computing; we address some characteristics of nilpotent groups and solvable groups, with special attention to nilpotent groups of class 2; we discuss the standard method of solution of the HSP in Abelian groups; we present the main characteristics of the polycyclic sequences and important reductions of the HSP in classes of nilpotent groups using the properties of polycyclic sequences. Finally, we present an efficient algorithm to solve the HSP in nilpotent groups of class 2. / Computadores quânticos prometem resolver certos problemas assintoticamente mais rápido do que os computadores clássicos. Algoritmos quânticos, como o algoritmo de Shor, podem ser considerados casos particulares do chamado Problema do Subgrupo Oculto(PSO). O PSO consiste em encontrar um subgrupo H de um grupo G por meio de avaliações de uma função f que é constante em classes laterais de H e distinta em classes laterais diferentes. O PSO em grupos abelianos é resolvido eficientemente em um computador quântico, mas será que os computadores quânticos podem resolver o PSO em grupos não abelianos? Esta questão tem sido discutida regularmente pela comunidade científica devido a importantes aplicações, como é o caso do problema de isomorfismo de grafos e do problema do menor vetor em um reticulado. Nesta dissertação é feita uma revisão do trabalho de Ivanyos et al. (2007a), o qual apresenta uma solução para o PSO em grupos nilpotentes de classe 2. Com esta finalidade, é elaborada uma breve revisão sobre a Computação Quântica; são mostradas algumas características dos grupos nilpotentes e dos grupos solúveis, dando uma atenção especial aos grupos nilpotentes de classe 2; é exposto o método padrão de solução do PSO em grupos abelianos; também são exibidas as principais características de sequencias policıclicas e reduções¸de grupos nilpotentes usando as propriedades de sequencias policıclicas

We present an efficient quantum algorithm for the Hidden Subgroup Problem (HSP) on the semidirect product of the cyclic groups and , where is any odd prime number, and are positives integers and the homomorphism which defines the group is given by the root such that . As a consequence we can solve efficiently de HSP on the semidirect product of the groups by , where has a special prime factorization. / Neste trabalho apresentamos um algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupos Oculto (PSO) no produto semidireto dos grupos cíclicos e , onde é qualquer número primo ímpar, e são inteiros positivos e o homomorfismo que define o grupo é dado por uma raiz para a qual . Como conseqüência, podemos resolver eficientemente o PSO também no produto semidireto dos grupos por , onde o inteiro possui uma especial fatoração prima.

Neste trabalho apresentamos um novo algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupo Oculto (PSO) sobre uma classe especial de grupos metacíclicos, Z_p times Z_q^s, com q | (p-1) e p/q= poli(log p), onde p, q são números primos ímpares distintos e s um inteiro positivo qualquer. Em um contexto mais geral, sem impor uma relação entre p e q obtemos um algoritmo quântico com complexidade de tempo 2^{O(sqrt{log p})}. Em qualquer caso, esses resultados são melhores que qualquer algoritmo clássico para o mesmo fim, cuja complexidade é Omega(sqrt{p}). Apresentamos também, algoritmos quânticos para o PSO sobre grupos não abelianos de ordem 2^{n+1} que possuem subgrupos cíclicos de índice 2 e para certos produtos semidiretos de grupos Z_N^m times Z_p, com m, N inteiros positivos e N fatorado de forma especial. / We present a new polynomial-time quantum algorithm that solves the hidden subgroup problem (HSP) for a special class of metacyclic groups, namely Z_{p} times _{q^s}, with q mid (p-1) and p/q= up{poly}(log p), where p, q are any odd prime numbers and s is any positive integer. This solution generalizes previous algorithms presented in the literature. In a more general setting, without imposing a relation between p and q, we obtain a quantum algorithm with time and query complexity 2^{O(sqrt{log p})}. In any case, those results improve the classical algorithm, which needs {Omega}(sqrt{p}) queries. We also present quantum algorithms for the HSP over non-abelian groups of order 2^{n+1} which have a cyclic subgroup of index 2 and for some semidirect product _N^m times _p, where N has a special prime factorization.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese-Carlos-Magno1.pdf: 616333 bytes, checksum: 65e51c95902afd18d11a1d7366653fc0 (MD5) Previous issue date: 2008-03-13 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico / We present an efficient quantum algorithm for the Hidden Subgroup Problem (HSP) on the semidirect product of the cyclic groups and , where is any odd prime number, and are positives integers and the homomorphism which defines the group is given by the root such that . As a consequence we can solve efficiently de HSP on the semidirect product of the groups by , where has a special prime factorization. / Neste trabalho apresentamos um algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupos Oculto (PSO) no produto semidireto dos grupos cíclicos e , onde é qualquer número primo ímpar, e são inteiros positivos e o homomorfismo que define o grupo é dado por uma raiz para a qual . Como conseqüência, podemos resolver eficientemente o PSO também no produto semidireto dos grupos por , onde o inteiro possui uma especial fatoração prima.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:51:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese Demerson.pdf: 742439 bytes, checksum: 534128a7d9b5cfc57f84985cd77ac16d (MD5) Previous issue date: 2009-08-28 / We present a new polynomial-time quantum algorithm that solves the hidden subgroup problem (HSP) for a special class of metacyclic groups, namely Z_{p} \rtimes \Z_{q^s}, with q \mid (p-1) and p/q= \up{poly}(\log p), where p, q are any odd prime numbers and s is any positive integer. This solution generalizes previous algorithms presented in the literature. In a more general setting, without imposing a relation between p and q, we obtain a quantum algorithm with time and query complexity 2^{O(\sqrt{\log p})}. In any case, those results improve the classical algorithm, which needs {\Omega}(\sqrt{p}) queries. We also present quantum algorithms for the HSP over non-abelian groups of order 2^{n+1} which have a cyclic subgroup of index 2 and for some semidirect product \Z_N^m \rtimes \Z_p, where N has a special prime factorization. / Neste trabalho apresentamos um novo algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupo Oculto (PSO) sobre uma classe especial de grupos metacíclicos, Z_p \rtimes Z_q^s, com q | (p-1) e p/q= poli(log p), onde p, q são números primos ímpares distintos e s um inteiro positivo qualquer. Em um contexto mais geral, sem impor uma relação entre p e q obtemos um algoritmo quântico com complexidade de tempo 2^{O(\sqrt{log p})}. Em qualquer caso, esses resultados são melhores que qualquer algoritmo clássico para o mesmo fim, cuja complexidade é \Omega(\sqrt{p}). Apresentamos também, algoritmos quânticos para o PSO sobre grupos não abelianos de ordem 2^{n+1} que possuem subgrupos cíclicos de índice 2 e para certos produtos semidiretos de grupos Z_N^m \rtimes Z_p, com m, N inteiros positivos e N fatorado de forma especial.