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Previous issue date: 2014-03-21 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work aims is to demonstrate the Euler's Theorem for polyhedra, given by
the equation V A + F = 2, where V; A and F are the numbers of vertices, edges
and faces, respectively, the polyhedron. A historical survey of the main characters
who contributed to the theme was elaborated. De nitions and properties of polygons
and polyhedra were given. The statements were constructed in three distinct ways.
The rst by Cauchy, commented by Professor Elon Lages Lima. This statement is
valid for any polyhedron homeomorphic to a sphere and has the path planning of
the polyhedron withdrawing one of its faces. The second statement was prepared
by the professor Zoroastro Azambuja Filho, valid for any convex polyhedron, and its
path projection of the polyhedron on a plane and comparison of the internal angles
of polygons with projection angles of the polygon faces. The third statements was
presented by Legendre, also valid for any convex polyhedron, and its path in the
projection of a spherical polyhedron surface. We use the Girard's Formula, the sum of
the interior angles of a spherical triangle, to complete the demonstration. This work
also suggests methods of applying the proof of Euler's Theorem in the classroom for
high school students, and resolution of vestibular exercises involving the subject. / Este trabalho tem por objetivo a demonstra c~ao do Teorema de Euler para poliedros,
dado pela equa ção V A + F = 2, onde V; A e F são os n úmeros de v értices,
arestas e faces, respectivamente, do poliedro. Foi elaborada uma pesquisa hist orica
dos principais personagens que contribuiram para o tema. Foram dadas de ni ções e
propriedades de pol ígonos e poliedros. As demonstra ções foram constru ídas em três
caminhos distintos. A primeira por Cauchy, comentada pelo professor Elon Lages
Lima. Esta demonstra ção é v álida para qualquer poliedro homeomorfo a uma esfera
e tem como caminho a plani fica ção do poliedro retirando-se uma de suas faces. A
segunda demonstra c~ao foi elaborada pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, v álida
para qualquer poliedro convexo e tem como caminho a proje ção do poliedro num plano
e a compara c~ao dos ângulos internos dos pol ígonos da proje ção com os ângulos dos
pol gonos das faces. A terceira demonstra c~ao foi apresentada por Legendre, tamb ém
v álida para qualquer poliedro convexo e tem como caminho a projeção do poliedro em
uma superf ície esf érica. Utiliza-se a F ormula de Girard, da soma dos ângulos internos
de um tri^angulo esf érico, para concluir a demonstra ção. Este trabalho tamb ém sugere
metodologias de aplica ção da demonstração do Teorema de Euler em sala de aula, para
alunos do Ensino M édio, e resolu ção de exercí cios de vestibulares envolvendo o tema.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.bc.ufg.br:tde/2970 |
| Date | 21 March 2014 |
| Creators | Parreira, José Roberto Penachia |
| Contributors | Tonon, Durval José, Tonon, Durval José, Souza, Flávio Raimundo de, Lemes, Max Valério |
| Publisher | Universidade Federal de Goiás, Programa de Pós-graduação em Matemática (IME), UFG, Brasil, Instituto de Matemática e Estatística - IME (RG) |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFG, instname:Universidade Federal de Goiás, instacron:UFG |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 6600717948137941247, 600, 600, 600, 600, -4268777512335152015, 8398970785179857790, 2075167498588264571, [1] Garbi, Gilberto Geraldo A rainha das Ciências, Editora Livraria da Física, 5a Edição (2001). São Paulo. [2] Barbosa, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Sociedade Brasileira de Matematica, 2004. [3] Lima, Elon Lages Meu Professor de Matematica e outras histórias, SBM, Edição 1991. Rio de Janeiro [4] Lima, Elon Lages. Carvalho, Paulo Cezar Pinto. Wagner, Eduardo. Morgado, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio - Volume 2, SBM Coleção do Professor de Matematica. 6a Edição (2006). Rio de Janeiro. [5] Euclides Os elementos, Editora Unesp, tradução de Irineu Bicudo, 2009. Rio de Janeiro. [6] SBM Revista do Professor de Matemática n_ 03 [7] SBM Revista do Professor de Matemática n_ 05 [8] Iezzi, Gelson. Dolce, Osvaldo. Degenszajn, David. Perigo, Roberto. Matematica, Volume Unico, Editora Atual. 5a Edição, 2011. São Paulo. [9] Mello, José Luiz Pastore Matemática: construção e significado, Volume Único, Editora Moderna. 1a Edição, 2005. São Paulo. [10] Lima, Elon Lages. Elementos de Topologia Geral Editora da Universidade de São Paulo, 1970, Rio de Janeiro. [11] Lima, Elon Lages. Espaços Métricos 2a Edição, Editora do IMPA, 1983, Rio de Janeiro. [12] Giovanni, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem Volume 2, Editora FTD, 2011, São Paulo. [13] Dante, Luiz Roberto Matemática: contexto e aplicações Volume 2, Editora Ática, 2011, São Paulo. [14] Usberco, João. Salvador, Edgard Química: essencial Volume Unico, 8a Edição, Editora Saraiva, 2010, São Paulo. [15] Silva, Edvaldo Lima da. Sítio: http://sorzal-df.fc.unesp.br/ edvaldo/ projecao.htm, acessado em 30/01/2014. [16] Lei n_ 9.394 de 20 de dezembro de 1996 - Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. [17] Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental. Brasília, MEC/SEF, 1998. [18] Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília, MEC/SEMT, 1998. [19] Parâmetros Curriculares Nacionais + Ensino Médio - Orientações Curriculares Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais, MEC/SEMT, 2002. |
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