Neste trabalho, colaboramos com o desenvolvimento das técnicas combinatórias que utilizam a q-contagem e ladrilhamentos. O principal resultado que provamos é a seguinte identidade, devida a Ramanujan. Além deste resultado, encontramos novas interpretações combinatórias para várias identidades da teoria das partições. Destacam-se nesta lista de identidades, as seguintes: o teorema q-binomial, a série q-binomial, uma identidade de Gauss, uma identidade de Jacobi e o produto triplo de Jacobi. Damos também uma interpretação nova para os números q-binomiais. No trabalho, apresentamos algumas ideias novas (dentro deste contexto combinatório com a q-contagem): a ideia do empilhamento de peças na mesma posição e uma noção de peso de peças não-absoluta, isto é, que não depende unicamente da posição da peça mas da posição relativa à outras peças. / In this work, we contribute with the development of the combinatorials techniques involving q-enumaration and tilings. The principal result we prove is the following identity of Ramanujan. Besides that, we nd new combinatorial interpretations for several identities of the theory of partitions. In this list, the most important identities are the following: q-binomial theorem, q-binomial serie, a Gauss' identity, a Jacobi's identity and the Jacobi triple product. We also give a new interpretation to the q-binomial numbers. In this work, we present some new ideas (within the combinatorial context of q- enumeration): the idea of pilling up tiles in the same position and a non-absolute weight notion, i.e., which doesn't depend solely on the position of the tile but as well to its relative position to other tiles.

Neste trabalho, colaboramos com o desenvolvimento das técnicas combinatórias que utilizam a q-contagem e ladrilhamentos. O principal resultado que provamos é a seguinte identidade, devida a Ramanujan. Além deste resultado, encontramos novas interpretações combinatórias para várias identidades da teoria das partições. Destacam-se nesta lista de identidades, as seguintes: o teorema q-binomial, a série q-binomial, uma identidade de Gauss, uma identidade de Jacobi e o produto triplo de Jacobi. Damos também uma interpretação nova para os números q-binomiais. No trabalho, apresentamos algumas ideias novas (dentro deste contexto combinatório com a q-contagem): a ideia do empilhamento de peças na mesma posição e uma noção de peso de peças não-absoluta, isto é, que não depende unicamente da posição da peça mas da posição relativa à outras peças. / In this work, we contribute with the development of the combinatorials techniques involving q-enumaration and tilings. The principal result we prove is the following identity of Ramanujan. Besides that, we nd new combinatorial interpretations for several identities of the theory of partitions. In this list, the most important identities are the following: q-binomial theorem, q-binomial serie, a Gauss' identity, a Jacobi's identity and the Jacobi triple product. We also give a new interpretation to the q-binomial numbers. In this work, we present some new ideas (within the combinatorial context of q- enumeration): the idea of pilling up tiles in the same position and a non-absolute weight notion, i.e., which doesn't depend solely on the position of the tile but as well to its relative position to other tiles.

Neste trabalho, colaboramos com o desenvolvimento das técnicas combinatórias que utilizam a q-contagem e ladrilhamentos. O principal resultado que provamos é a seguinte identidade, devida a Ramanujan. Além deste resultado, encontramos novas interpretações combinatórias para várias identidades da teoria das partições. Destacam-se nesta lista de identidades, as seguintes: o teorema q-binomial, a série q-binomial, uma identidade de Gauss, uma identidade de Jacobi e o produto triplo de Jacobi. Damos também uma interpretação nova para os números q-binomiais. No trabalho, apresentamos algumas ideias novas (dentro deste contexto combinatório com a q-contagem): a ideia do empilhamento de peças na mesma posição e uma noção de peso de peças não-absoluta, isto é, que não depende unicamente da posição da peça mas da posição relativa à outras peças. / In this work, we contribute with the development of the combinatorials techniques involving q-enumaration and tilings. The principal result we prove is the following identity of Ramanujan. Besides that, we nd new combinatorial interpretations for several identities of the theory of partitions. In this list, the most important identities are the following: q-binomial theorem, q-binomial serie, a Gauss' identity, a Jacobi's identity and the Jacobi triple product. We also give a new interpretation to the q-binomial numbers. In this work, we present some new ideas (within the combinatorial context of q- enumeration): the idea of pilling up tiles in the same position and a non-absolute weight notion, i.e., which doesn't depend solely on the position of the tile but as well to its relative position to other tiles.

Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2016-08-30T17:24:15Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 4232344 bytes, checksum: 570158c74aae3b6b7b1e909cc8bc8bce (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-30T17:24:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 4232344 bytes, checksum: 570158c74aae3b6b7b1e909cc8bc8bce (MD5) Previous issue date: 2015-08-28 / Um tema de estudo do ensino médio ́e a relação entre os números de vértices, arestas e faces, para poliedros convexos regulares, conhecida como Teorema de Euler. No caso geral esta relação ́e conhecida como característica de Euler. Neste trabalho apresentaremos exemplos de poliedros não convexos que satisfazem o Teorema de Euler e algumas formas de calcular a característica de Euler para poliedros no caso em geral, com o objetivo de fornecer um material mais acessível para professores que trabalham com este tema. / One topic of study in the high school is the relation between the number of vertices, the number of edges and the number of faces, for regular convex polyedra, known as Euler’s theorem. In the general case this relationsship is known as Euler characteristic. In this paper we present examples of non-convex polyhedrons which satisfies the Euler’s Theorem. We present some ways to computer the Euler characteristic to polyhedrons in the general case.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Polyhedra are geometric solids formed by a finite number of polygons they can be convex or non-convex, regular or not regular. This work we make three demonstrations of Eulerâs theorem for polyhedra in one plane being used graphs. We will adopt preliminary definitions of polygons, polyhedra and graphs and make a brief study of the theorem before the demonstrations analysis when the theorem is valid and what conditions exist polyhedra, since the theorem is accepted. The work brings some applications in the form of questions in the theory presented. / Os poliedros sÃo sÃlidos geomÃtricos formados por uma quantidade finita de polÃgonos. Eles podem ser convexos ou nÃo convexos, regulares ou nÃo regulares . Neste trabalho fazemos trÃs demonstraÃÃes do teorema de Euler para poliedros no plano, sendo uma utilizado grafos. Adotaremos definiÃÃes preliminares de polÃgonos, poliedros e grafos e faremos um breve estudo do teorema antes das demonstraÃÃes analisado quando o teorema à valido em quais condiÃÃes existem os poliedros, uma vez que o teorema à aceito. O trabalho traz algumas aplicaÃÃes em forma de questÃes da teoria apresentada.

Submitted by Joyce Melo (joycemello79@gmail.com) on 2016-03-14T14:28:35Z No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-03-15T14:52:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-03-15T15:15:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-15T15:15:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DIssertação-Eder.pdf: 2150158 bytes, checksum: 370b81b52ed3a734cc7753e25cd017ab (MD5) Previous issue date: 2013-06-21 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we will do a study of one of the most beautiful theorems of geometry: Euler's theorem for polyhedra Convex, which lists the number of vertices V, edges A and F faces using the formula V -A + F = 2. The focus of the work is its use as a support to high school teacher. For this a little history of the theorem is presented and are given three statements distinct approaches. Moreover, it is made a brief analysis of how it is being done teaching spatial geometry, particularly the Euler's theorem in high school. For fi m, it is a suggestion for use of computer resources for the teaching of Euler's theorem using the software A Plethora of Polyhedra, open software, Universidade Federal Fluminense (UFF). / Neste trabalho fazemos um estudo de um dos mais belos teoremas da Geometria: o Teorema de Euler para Poliedros Convexos, que relaciona o número de vértices V , de arestas A e de faces F por meio da fórmula V −A+F = 2. O foco do trabalho é sua utilização como suporte ao professor do Ensino Médio. Para isto é apresentada um pouco da história do teorema e são dadas 3 demonstrações com abordagens distintas. Além disso, é feita uma breve análise de como está sendo feito o ensino de Geometria Espacial, particularmente o Teorema de Euler, no Ensino Médio. Por fim, faz-se uma sugestão para utilização de recursos computacionais para o ensino do Teorema de Euler através do software Uma Pletora de Poliedros, software aberto da Universidade Federal Fluminense (UFF).

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2014-08-29T20:47:14Z No. of bitstreams: 2 Poliedros_E_Teorema_de_Euler.pdf: 4810573 bytes, checksum: f1f57ad45cfd7dc575fe3c3e963b24c6 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-29T20:47:14Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Poliedros_E_Teorema_de_Euler.pdf: 4810573 bytes, checksum: f1f57ad45cfd7dc575fe3c3e963b24c6 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2014-03-21 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work aims is to demonstrate the Euler's Theorem for polyhedra, given by the equation V 􀀀 A + F = 2, where V; A and F are the numbers of vertices, edges and faces, respectively, the polyhedron. A historical survey of the main characters who contributed to the theme was elaborated. De nitions and properties of polygons and polyhedra were given. The statements were constructed in three distinct ways. The rst by Cauchy, commented by Professor Elon Lages Lima. This statement is valid for any polyhedron homeomorphic to a sphere and has the path planning of the polyhedron withdrawing one of its faces. The second statement was prepared by the professor Zoroastro Azambuja Filho, valid for any convex polyhedron, and its path projection of the polyhedron on a plane and comparison of the internal angles of polygons with projection angles of the polygon faces. The third statements was presented by Legendre, also valid for any convex polyhedron, and its path in the projection of a spherical polyhedron surface. We use the Girard's Formula, the sum of the interior angles of a spherical triangle, to complete the demonstration. This work also suggests methods of applying the proof of Euler's Theorem in the classroom for high school students, and resolution of vestibular exercises involving the subject. / Este trabalho tem por objetivo a demonstra c~ao do Teorema de Euler para poliedros, dado pela equa ção V 􀀀 A + F = 2, onde V; A e F são os n úmeros de v értices, arestas e faces, respectivamente, do poliedro. Foi elaborada uma pesquisa hist orica dos principais personagens que contribuiram para o tema. Foram dadas de ni ções e propriedades de pol ígonos e poliedros. As demonstra ções foram constru ídas em três caminhos distintos. A primeira por Cauchy, comentada pelo professor Elon Lages Lima. Esta demonstra ção é v álida para qualquer poliedro homeomorfo a uma esfera e tem como caminho a plani fica ção do poliedro retirando-se uma de suas faces. A segunda demonstra c~ao foi elaborada pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, v álida para qualquer poliedro convexo e tem como caminho a proje ção do poliedro num plano e a compara c~ao dos ângulos internos dos pol ígonos da proje ção com os ângulos dos pol gonos das faces. A terceira demonstra c~ao foi apresentada por Legendre, tamb ém v álida para qualquer poliedro convexo e tem como caminho a projeção do poliedro em uma superf ície esf érica. Utiliza-se a F ormula de Girard, da soma dos ângulos internos de um tri^angulo esf érico, para concluir a demonstra ção. Este trabalho tamb ém sugere metodologias de aplica ção da demonstração do Teorema de Euler em sala de aula, para alunos do Ensino M édio, e resolu ção de exercí cios de vestibulares envolvendo o tema.

[pt] O estudo de geometria, em particular área de polígonos simples, é pouco trabalhado em sala de aula, sendo assim o presente trabalho tem como finalidade apresentar o Teorema de Pick, com algumas demonstrações, como ferramenta de cálculo de área. Atenção especial é necessária para polígonos simples mas não necessariamente convexos. Além disso discutimos outros Teoremas relacionados, como Jordan e Euler. Espera-se que esta pesquisa se some a outras no sentido de contribuir para o ensino de matemática de forma qualitativa, podendo se utilizar de técnicas aqui abordadas ou ainda serem adaptadas às diversas realidades para o seu melhor aproveitamento. / [en] The study of plane geometry, in particular the computation of areas of simple polygons, is little explored in the classroom. Our aim here is to state and prove Pick s Theorem. We also present sever al examples and more than one proof. Simple polygons (which are not necessarily convex) receive special attention. We also consider some related results, such as the theorems of Jordan and Euler. It is hoped that this re e arch will contribute to the teaching of mathematics in a qualitative way.

Made available in DSpace on 2015-03-26T14:00:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1123753 bytes, checksum: b46764bbd1d7d69bdb596dd568e0887d (MD5) Previous issue date: 2014-04-04 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work addresses the Euler s theorem for polyhedra. We present historical facts related to Euler s theorem, some proofs of the theorem and a notion of the Euler-Poincaré characteristic. We also present a material aimed for High School students, with a proof of Euler s theorem using only basic mathematics, discuss a version of the theorem for the plane and use Euler s theorem to show the existence of only five regular convex polyhedra. / Este trabalho aborda o Teorema de Euler para poliedros. Apresentamos fatos históricos relacionados ao Teorema de Euler, algumas demonstrações do teorema e uma noção da característica de Euler-Poincaré. Apresentamos também um material voltado para o Ensino Médio, com uma demonstração para o Teorema de Euler usando apenas Matemática básica, discutimos o caso plano do teorema e usamos o Teorema de Euler para mostrar a existência de apenas cinco poliedros convexos regulares.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-14T13:35:24Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Helen Kássia Coelho Gontijo - 2014.pdf: 1533837 bytes, checksum: 06babe56caa781b8fdc2bc90de1a2947 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-14T14:11:25Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Helen Kássia Coelho Gontijo - 2014.pdf: 1533837 bytes, checksum: 06babe56caa781b8fdc2bc90de1a2947 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-01-14T14:11:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Helen Kássia Coelho Gontijo - 2014.pdf: 1533837 bytes, checksum: 06babe56caa781b8fdc2bc90de1a2947 (MD5) Previous issue date: 2014-07-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work is based on the study of the polyhedrons and the Euler's Theorem, by applying strategies of teaching using the concrete material, provoking improvements in the reasoning and in the geometrical perception the Euler's Theorem. Not mentioning a bit of history of tracks already made by several mathematicians who have contributed to the study of geometry, where the ideas previously applied by them teach us and help every day. Going to the presentation of a few concepts and de nitions about polyhedrons, as well as the demonstration that exist only ve polyhedrons of Plato. We've tried to expose the demonstration of the Euler's Theorem, through two researchers, Adrien Marie Legendre and of the professor Zoroastro Azambuja Filho, considering them very interesting and easy to understand. However, in the perspective that going from the concrete one is an alternative to improve the quality of teaching, it has been selected the activity Geometry of cutting soaps , which is in an article of Ana Maria Kale , see at [10], and Geometry of straws , at [9], which are based on work experiences of the same author. Before the new technologies we have opted for the mathematical software Poly, available on http://www.peda.com/poly which allows a better visualization of polyhedrons of di cult construction. All these activities have been presented to the students of the second grade in the Secondary Education to verify the Euler's Theorem through concrete experiences, obtaining this way a useful and creative geometrical knowledge, conquering the students' participation and interest. / Este trabalho baseia-se no estudo dos Poliedros e o Teorema de Euler, aplicando estratégias de ensinar usando o material concreto, desencadeando melhoras no raciocínio e na percepção geométrica do Teorema de Euler. Não deixando de mencionar um pouco da história de caminhos já trilhados por vários matemáticos que contribuíram para o estudo da geometria, onde as ideias anteriormente aplicadas por eles nos ensinam e ajudam no dia-a-dia. Partindo então para apresentação de alguns conceitos e de nições sobre Poliedros, bem como a demonstração de que só existem cinco poliedros de Platão. Buscamos expor a demonstração do Teorema de Euler, por dois pesquisadores, Adrien Marie Legendre e do professor Zoroastro Azambuja Filho, considerando-as bem interessantes e de fácil compreensão. Contudo, na perspectiva de que partir do concreto é uma alternativa para melhorar a qualidade de ensino, foi selecionada a atividade Geometria dos cortes de sabão , que se encontra em um artigo de Ana Maria Kale , veja em [10] e Geometria de Canudos , em [9], que são fundamentados em experiências de trabalho da mesma autora. Frente às novas tecnologias optamos pelo uso do software matemático Poly, disponível em http://www.peda.com/poly, que permite uma melhor visualização de poliedros de difícil construção. Todas estas atividades foram apresentadas para os alunos do 2o ano do Ensino Médio para a veri cação do Teorema de Euler através de experiências concretas, obtendo assim um conhecimento geométrico criativo e útil, conquistando a participação e interesse dos estudantes.