Cette thèse est consacrée à certains modèles mathématiques décrivant le mouvement d'une population de cellules, qui interagissent via un signal chimique. L'accent est mis sur le modèle parabolique de Patlak-Keller-Segel, et dans une moindre mesure, sur le modèle cinétique d'Othmer-Dunbar-Alt.<br /><br />Dans une première partie nous étudions plusieurs variantes du modèle PKS classique, incluant notamment une diffusion non-linéaire des cellules, ou bien une loi de diffusion chimique à noyau de Green logarithmique. Puis nous montrons l'existence globale pour une masse sous-critique du modèle PKS classique dans tout l'espace $\mathbb{R}^2$.<br />On complexifie ensuite le modèle de base en ajoutant un intermédiaire chimique réactionnel, ce qui modifie l'homogénéité du système. Enfin les conditions d'existence globale pour le modèle cinétique ODA avec effets délocalisants sont affaiblies par rapport aux travaux précédents.<br /><br />Dans une deuxième partie nous appliquons le modèle phénoménologique de PKS, et son principe de masse critique, à un processus d'auto-organisation remarquable dans le cerveau: la sclérose concentrique de Baló. Un couplage adéquat entre un front de propagation et une instabilité de PKS décrit raisonnablement les motifs en anneaux de la maladie.<br /><br />La troisième partie adopte le point de vue du transport optimal de masse pour analyser le modèle de PKS unidimensionnel modifié auparavant (afin de partager les caractéristiques de PKS 2D). Bien que la fonctionnelle d'énergie ne soit pas convexe par déplacement, nous démontrons la convergence vers un unique état d'équilibre, lorsqu'il existe. Ces nouvelles idées sont mises en oeuvre numériquement~: un flot gradient discret pour la distance de Wasserstein est analysé, puis simulé en dimension un d'espace.<br /><br />Plusieurs annexes viennent compléter ce travail, dont une annexe qui regroupe tous les aspects numériques de la thèse.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00255811 |
| Date | 10 October 2007 |
| Creators | Calvez, Vincent |
| Publisher | Université Pierre et Marie Curie - Paris VI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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